| 第四章 |
定理时代

现在是5月初。正午时分，巴黎北部维莱特公园的上空阳光灿烂。在我对面，矗立着“科学与工业城”[1]的大楼，楼前最引人注目的，是“拉吉奥德”[2]。这间奇怪的电影院始建于20世纪80年代中期，直径36米，看上去像一颗巨大的镜面球。

此地过客众多。有手里拿着相机、前来观赏这栋奇怪的巴黎建筑的游客，也有前来享受“周三散步”[3]的家庭。几对恋人或手牵手走过，或坐在绿茵丛中。当地居民们在街上悠然行走，而总有慢跑者从他们中间前后突围，一路向前，他们目不斜视，几乎懒得去瞥一眼这个已经成为他们日常生活景象一部分的奇怪又巨大的镜面球。在“拉吉奥德”四周，孩子们饶有兴趣地观察着镜面当中扭曲的景观，哈哈大笑。

就我个人而言，今天之所以来到这里，是因为我对“拉吉奥德”的几何形状特别感兴趣。我走近它，开始仔细观察，它的表面由数千片三角形镜片拼贴而成。乍一看，这些镜片的拼贴是绝对规律的，然而，在认真观察这个建筑物几分钟之后，一些不规则的地方开始浮现在我眼前。在某一些定点周围，三角形镜片是扭曲的，而且比一般的镜片更宽，好像因为建筑的畸形而被拉长了。在几乎整个球面之上，三角形镜片每6个一组，构成了完全规则的六角形网格形状。然而，还存在着12个特殊的定点，在这些定点周围，只有5个三角形存在。

这些不规则的三角形乍一看几乎无法辨认出来，路上来来往往的大多数行人更不会注意到它们。然而，在我这个数学家的眼睛里，它们却并不奇怪。必须得说，我其实是故意在找它们的！建筑师并没有犯错误，在世界各地，有着大量的、几何形状类似的建筑物，每一个球状结构上，都有同样的12个特殊的点，每个点周围围绕着5个三角形，而不是6个。这些点的存在，是不可避免的多面体几何性质约束的结果，而2000多年前的古希腊数学家们已经发现了这一点。

泰阿泰德是公元前4世纪的古希腊数学家，我们一般认为，正是他第一个完整地描述了正多面体。在几何学中，多面体的定义很简单，即一个由有限个多边形面组成的三维形体。因此，立方体和金字塔就属于多面体的集合，而球体和圆柱体则不属于。“拉吉奥德”的表面由多个三角形构成，同样也可以被看作一个巨大的多面体，由于它具有的侧面太多，因此从远处看就像一个球体。

泰阿泰德对完全对称的多面体特别感兴趣，也就是那些所有侧面和角度都相同的多面体。而他的发现却让人感到有些不安，他说，只存在5种正多面体，除此之外，没有其他的了。5种多面体就是全部！不存在第6种。

直到今天，法语中多面体的命名规则，依然是由两部分构成的，前一部分是多面体的侧面的数量，用古希腊语表示；第二部分是 -èdre这个后缀[4]。因此，具有6个正方形侧面的立方体在几何学上被称为“正六面体”（hexaèdre）。正四面体（tétraèdre）、正八面体（octaèdre）、正十二面体（dodécaèdre）和正二十面体（icosaèdre）分别有4个、8个、12个和20个正多边形侧面。后来，我们称这5种正多面体为“柏拉图立体”。

柏拉图立体？为什么不是泰阿泰德立体？有的时候，历史就是这么不公平，接受后人赋予的荣誉的人也不一定就是原本的发现者。在5种正立方体的发现过程中，雅典哲学家柏拉图其实一点儿贡献都没有，但是他因为开创了一种将这5种正立方体和宇宙元素联系起来的理论而驰名：火对应正四面体，土对应正六面体，空气对应正八面体，水对应正二十面体。至于正十二面体，因为它的侧面都是正五边形，因此柏拉图声称，这就是宇宙的形状。虽然这个理论早已经被科学界摒弃，但提到正多面体，“光环”却总是被戴在柏拉图的头上。

其实，实话实说，我们得承认，泰阿泰德也不是人类历史上第一个发现这5种正立方体的人。人们发现，在更古老的雕刻模型或者书面记录中，也出现了这5种正立方体。人们在苏格兰发现了一组石头雕刻成的小球，分别展现了5种柏拉图立体，研究数据显示，这些小石头雕刻的时间，比泰阿泰德要早1000年！目前，这些小石球被保存在牛津的阿什莫尔博物馆。

所以，泰阿泰德并不比柏拉图好到哪儿去？他难道也是个冒牌货？并不是，因为，虽然在他之前已经有人发现了这5种正立方体，但他是第一个声明正立方体只存在这5种情况的人。泰阿泰德告诉我们，不用费力气寻找了，没有人能够找到第6种。这种说法让人感到放心，它将我们从可怕的怀疑中解救出来。哟！所有的都在这里了。

这是古希腊数学家们为了研究数学问题而踏出的里程碑式的一步。对他们来说，数学研究不再仅仅是为了寻找问题的解决方案。他们希望能够“穷尽”问题，希望能够确定没有意外可以逃脱他们的“手心”。而为了做到这一点，他们将会抵达数学探索艺术的顶峰。

现在让我们回到“拉吉奥德”上来。泰阿泰德的断言清楚明确：具有上千个侧面的多面体不可能是完全规则的。所以，如果你是建筑师，如果人们想要一个看上去尽可能规则的球体建筑物，你会怎么做呢？在技术上，很难构思出一个只由一块材料构成的建筑物。绝对没有上述这种可能，所以我们必须将大量的小侧面拼在一起才行。但是，如何创造这样一种结构呢？

我们能够想象出多种解决方案。其中一个解决方案，就是以一个柏拉图立体为原始版本，在此基础上进行改造。让我们以正二十面体为例，因为正二十面体由20个等边三角形侧面构成，所以它在5种正多面体中看上去最接近球形。为了让它看上去更圆润，我们可以将它的每个侧面都切割成若干个小侧面，然后就可以得到新的多面体，好比我们向其中“吹气”一般，让它看上去更像一个球体。

下图就是一组例子，我们将正二十面体的每个侧面再切分成4个小三角形。

这种类型的多面体，在几何学上被称为“测地线网格”（géode）。从词源上说，这个词的意思是“一种具有地球形状的图形”，也就是类球体形状。从理论上说，倒是没什么太复杂的。位于维莱特公园的“拉吉奥德”，也正是基于这种结构所建！当然，“拉吉奥德”的侧面细分做得更加精细：作为“基准”的正二十面体，每个侧面的等边三角形都被切割成400个小三角形，因此，整个“拉吉奥德”应该由8000块三角镜面构成！

但在现实中，“拉吉奥德”倒是没有8000块镜面，只有6433块，因为它并不是一个完整的多面体。“拉吉奥德”的底座被放在了地面上，所以被“削掉”了一面，因此这一部分是不需要三角镜面的。不过，这种结构倒是有助于解释那12个特殊的点。这12个点对应了作为“基准”的正二十面体的12个顶点。换句话说，原本那个正二十面体的12个顶点，就是由只有5个三角形围绕着的顶点。这些顶点最开始看上去很尖，但是伴随着每个侧面被切割成若干个小三角形而变得越来越“扁”，最终我们几乎看不出这12个点了。然而，不管怎么切割侧面、变形多面体，这12个点却始终存在，只等待路过的有心人发现。

泰阿泰德恐怕绝对不会想到，有朝一日他的研究会被用来搭建“拉吉奥德”这样庞大的建筑物。而古希腊的学者们也将会发展出一种强大的数学能力：能够发现新问题的伟大能力。古希腊人将逐渐一步步地从那些具体的问题中“解放”出来，转而提出那些出自单纯的求知欲的、原创且令人激动的数学模型。虽然，他们构想出来的问题，在当时看来可能并没有什么实际用途，然而有些模型在它们的创造者去世很长很长时间以后，会发挥出令人不可思议的效用。

当今，我们在不同的情境下都能够发现5种柏拉图立体。比如，在图版游戏中，人们利用正多面体设计出了色子。因为正多面体是规则的，因此能保证每一颗色子都是均质的，也就是说，每一面出现的机会是均等的。所有人都知道正六面体形状的色子，但是骨灰级玩家还知道，在很多游戏中，同样也使用其他4种正多面体形状的色子，这大大地增加了游戏的乐趣性和可能性。

我离开“拉吉奥德”，继续在公园中漫步。我看见一些孩子在不远处玩足球，准备开始一场即兴的维莱特草坪足球赛。在这样的时刻，虽然他们肯定不懂，但是他们应该明白的一点是：必须感谢泰阿泰德前辈的贡献。不知孩子们有没有注意到，他们的足球也有自己独特的几何形状呢？大多数足球的形状都是一样的：由20个正六边形和12个正五边形构成。如果是传统的足球造型，六边形会是白色的，而五边形则是黑色的。虽然现在的足球，表面上被画满了丰富的、各式各样的花纹，但你只需要仔细看一看接缝处，毫无意外地，还是会看到20个正六边形和12个正五边形。

一个被“截肢”的正二十面体！几何学家们会如此给足球命名。足球的形状受到了与“拉吉奥德”一样的限制：它必须看上去尽可能规则、尽可能圆。然而，为了达到这一目的，足球的设计者们却使用了一种不同于设计“拉吉奥德”时使用的方法。并没有通过增加平面的数量来让顶角变得更柔和，只是选择了……切掉这些角。想象一下，你手中有一个黏土捏成的正二十面体，用一把小刀就可以切掉所有的顶角。20个被切掉顶点的侧面变成了20个正六边形，而被切掉的12个定点则形成了12个正五边形。

因此，足球上的12个正五边形与“拉吉奥德”表面上的12个不规则点的来源是一样的：它们取代了正二十面体原来的12个顶点。

当我离开维莱特公园时，在路上遇见了一个手捏纸巾的小姑娘，她看上去好像生病了。她不会也是那些邪恶的微二十面体传播的受害者吧？一些微生物，例如病毒，在自然的情况下会呈现正二十面体或正十二面体的形状。比如，大部分伤风感冒的罪魁祸首——鼻病毒，就是这种形状。

这些微小的生物之所以呈现出这种形状，其原则与我们建造“拉吉奥德”或者足球的原则是一样的，是出于对称性和经济性的缘故。多亏正二十面体的存在，足球制造者们只需要生产两种不同类型的碎片。类似地，病毒的包膜仅由几种不同类型的分子构成（比如构成鼻病毒的只有4种分子），这些分子彼此配合相嵌，总是呈现出相同的规律。因此，创造这种“外壳”所必需的基因密码就需要是简洁的、经济的，这只能通过拥有最大限度的对称性才能实现。

再一次地，如果泰阿泰德活到今天，他一定会为他的多面体们如此会躲猫猫（躲到了微观世界）而感到惊讶。

让我们彻底地离开维莱特公园，重新踏上数学编年史旅行吧。古典时代的数学家们，比如泰阿泰德，他们为什么会提出那些越来越具有概括性和理论性的问题呢？为了回答这个问题，我们需要穿越回几千年前，来到地中海的东海岸。

虽然古巴比伦和古埃及文明在历史的长河中慢慢消亡了，古希腊的文化却即将迎来最辉煌的时代。从公元前6世纪起，古希腊世界进入了一个前所未有的、文化与科学的沸腾阶段。哲学、诗歌、雕塑、建筑、戏剧、医药甚至历史，所有这些学科都即将经历一场名副其实的革命。直到今天，人类在这一时期的特殊活力依然保持着它的魅力和神秘性。在这场庞大的知识运动中，数学占据了一个特殊的位置。

当我们说起古希腊的时候，首先在脑海中浮现的，往往是由雅典卫城统治的雅典城。我们想象着穿着长白袍的市民们正在几座神庙——用来自彭代利山的大理石修建而成——和几棵橄榄树之间悠然漫步，而他们刚刚创造了人类历史上第一个民主制度！然而，这一画面还不能代表整个古希腊世界呈现出的多样性。

在公元前8世纪到公元前7世纪之间，地中海周围散布着许多希腊殖民地。有时这些殖民者与当地人混居，接受了一部分当地人的习俗和生活方式。所以并不是所有的古希腊人都只有一种生活经验，远远不是这样。他们的饮食、休闲、信仰和政治系统都因为地域的不同而大相径庭。

因此，古希腊数学的出现，并不是在某一个固定的区域——所有的学者们凑到一起，彼此熟识，每天都能遇到，这是不可能的——而是在一个幅员辽阔的地理和文化区域中形成的。古希腊文明与其他古老文明的接触会产生传承和自身多样性的交融，这就是古希腊数学革命的原动力之一。很多古希腊学者，在有生之年都会前往埃及或者西亚北非地区“朝圣”，这是他们学习过程中的必要步骤。因此，很大一部分源自古巴比伦和古印度的数学知识会被古希腊数学家吸收和扩展。

公元前7世纪末期，在位于现今土耳其东南海岸的港口城市米利都城邦，古希腊历史上第一位伟大的数学家降生了，他就是泰勒斯。虽然很多历史材料中都提到了泰勒斯，但今天的我们却依然很难提炼出关于他生平和工作的可靠信息。如同那个时代的众多学者一样，在泰勒斯死后，他的某些过分虔诚的门徒创作了很多传奇故事，如此，真真假假的历史故事混在一起，人们很难区分开来。古希腊时期的科学家们并不会用过于严苛的道德标准来束缚自己，因此当他们得到不合自己口味的结论时，随心所欲地篡改事实也就不足为奇了。

比如，在诸多关于泰勒斯的传闻中，人们都说，泰勒斯是一个特别心不在焉的人。因此，这位来自米利都的智者居然是开创了历史悠久的“漫不经心学术派”的祖师爷！有一则逸事是这样说的：一天晚上，人们看见泰勒斯一边散步一边仰着头观察天上的星星，然后扑通一声掉进了井里。另外一则逸闻则说，泰勒斯80多岁的时候死于观看一场体育比赛：他被比赛现场深深吸引，以至于忘记了吃喝，活活饿死了。

泰勒斯的科学成就同样也成了传奇故事的主题。泰勒斯应该是人类历史上第一个准确地预测了日食的人。这次日食发生在米底人和吕底亚人的一场战斗当中，交战地点位于当今土耳其西部的哈利斯河沿岸。面对白昼中突如其来的“黑夜”，战争者们相信，这是来自神的旨意，当即决定讲和。如今，预测日食或者反推历史上曾经发生过的日食对于天文学家们来说不过是小菜一碟。多亏了他们，我们知道这场日食发生于公元前584年5月28日，于是，哈利斯河战役成了目前为止人类历史上最古老的、能够精确地确定日期的历史事件！

正是在一次前往埃及的旅行中，泰勒斯完成了被认为是他最伟大的成就的数学计算。据说，埃及法老雅赫摩斯二世向泰勒斯发出挑战，让他测量出大金字塔的高度。在此之前，所有参与讨论这个问题的古埃及学者都失败了。泰勒斯不但接受了这个挑战，更是用了一种格外精妙的方法优雅地解决了这个问题。这位米利都的智者在地上垂直插入一根小棍子，然后等待着一天中棍子阴影长度等于棍子自身高度的时刻。这一刻到来的时候，他测量了大金字塔阴影的长度，而这一长度就是大金字塔的高度。原来如此！

这个故事看上去很美好，然而再一次地，它的历史性却并不能确定。正如故事所呈现的那样，这则逸事传递出来的态度是对当时的古埃及智者相当程度的不屑，然而，根据莎草纸的记载，古埃及的智者们绝对非常清楚如何计算金字塔的高度，而且他们算出金字塔高度的时间，比泰勒斯抵达埃及早了1000多年！所以，真相到底如何？泰勒斯真的测量出金字塔的高度了吗？他是第一个使用“阴影测量法”的人吗？我们又怎么知道，他测量的不是米利都家门前一棵橄榄树的高度呢？泰勒斯的门徒们在他死后，将他的生平故事做了美化。我们必须承认的是，真相究竟如何，我们或许永远不会知道。

不管怎么说，泰勒斯使用的几何方法是非常真实的，不管是用来测量大金字塔的高度，还是橄榄树的高度，都不会减损“阴影测量法”的半点智慧光辉。这种方法衍生出了一种特殊的情况，其具有的属性使我们今天称其为“泰勒斯定理”。泰勒斯还发现了许多其他的数学结论：一个圆的任意直径将该圆分为等面积的两部分（图1）；等腰三角形的两个底角相等（图2）；任意两条相交线，对顶角度数相等（图3）；如果一个三角形的三个顶点落在一个圆周之上，并且其中一条边穿过圆心，那么这个三角形必然是直角三角形（图4）。最后这一条有的时候也被称为“泰勒斯定理”。

于是，让我们来看一看这个奇怪的、既迷人又吓人的词：定理（théorème）。什么是“定理”？从词源上说，这个词来自于古希腊语词根théa（冥思）和horáô（凝视，看见）。因此，一个定理应该是一种对数学世界的观察，一个被数学家们观察、检验并记录下来的事实。定理可以通过口口相传或文字书写的方式流传开来，好比外婆的经典菜谱或者气象类的箴言之类的——它们已经经过了几代人的验证，所以我们相信其真实性。一只燕子出现并不意味着春天的到来（孤证不立），月桂叶能缓解风湿，边长分别为3∶4∶5的三角形是直角三角形。这些都被人们认为是真实的事情，所以我们试图将它们记录下来，以备不时之需。

根据这个定义，古美索不达米亚人、古埃及人、古代中国人同样也发明了一些定理。然而，从泰勒斯开始，古希腊人给了“定理”一个新的维度。对于他们来说，一个定理绝不仅仅是陈述一个数学事实，它必须被用尽可能普适的方式概括出来或写出公式，并且必须伴有使之得以成立的证明过程。

让我们回到上面被认为是泰勒斯提出的几何特性之一：一个圆的任意直径将该圆分为等面积的两部分。对于一个像泰勒斯这样伟大的学者来说，提出这样的陈述，似乎让人感觉很失望。毕竟，这难道不是显然的吗？为什么一直要到公元前6世纪，这样一个看上去如此平庸的断言才最终被提出，这怎么可能呢？毫无疑问，早在很久很久以前，古埃及和古巴比伦的学者就知道这件事了。

然而，我们必须得清楚一件事，这位米利都智者提出的陈述之所以了不起，并不是因为它的内容，而是它的表达方式。泰勒斯敢说，所有的圆都这样，毫无例外！而同样是表达这一规则，古巴比伦人、古埃及人、古代中国人都只是举了一个个例。他们会说，一个半径为3的圆周上有一条直径，这个圆被这条直径平均分成两部分。而如果一个例子不足以理解这条规则，那我们就会再给出第二个、第三个，甚至第四个例子。只要为了让读者理解，作者可以不断地重复列举类似的例子，用直径切割一个又一个圆。但是，却从来没有人下一个普遍意义上的陈述性断言。

泰勒斯跨越了这条鸿沟。请给出一个圆，你愿意给什么圆就给什么圆，我也不想知道到底是哪个圆。它可能是一个巨大的圆，或者是一个微小的圆。将这个圆水平放置，或者竖直放置，或者干脆放在斜坡上，对我来说都无所谓。我完全不关心你这个圆有多特别，也不关心你是怎么画出来的，然而，我却能够确定，这个圆的直径能将它分成两个相等的部分！

通过这样的操作，泰勒斯明确地给几何图形赋予了抽象的数学对象的地位。这种思维阶段正类似于2000多年以前，美索不达米亚人首先将数字从被计数的对象身上独立出来。一个圆，它再也不是某个画在地上的圆，也不是画在黏土板或者莎草纸上的圆。圆成为一种虚构，一个想法，一个抽象的完美典型，而所有现实生活中的圆，都是一些不完美的化身。

从此以后，数学真理可以用简洁又概括的方式表述，无论对于所包含的哪一种个别情况来说，都是成立的。自此，古希腊人给这些表述起了一个名字，叫作“定理”。

泰勒斯在米利都收了好多弟子，其中最著名的两人是阿那克西美尼和阿那克西曼德。然后，阿那克西曼德也有了自己的弟子，在他的弟子中，有个名叫毕达哥拉斯的人，再后来，他的名字与人类有史以来最著名的定理之一联系在了一起。

公元前6世纪初期，毕达哥拉斯出生在萨摩斯岛，这座希腊小岛位于现今土耳其附近，距离米利都城的直线距离只有几千米远。在青年时期作为学徒游历了古代世界之后，毕达哥拉斯最终选择克罗托内城——位于现今意大利东南部——作为定居地。在那里，他于公元前532年开创了毕达哥拉斯学派。

毕达哥拉斯和他的追随者们不仅仅是数学家和科学家，他们还是哲学家、修道士和政治人物。但必须指出的是，如果毕氏学派存在于我们这个时代，这个由毕达哥拉斯亲自发起的共同体社团毫无疑问会是阴暗、危险的邪教之一。毕达哥拉斯学派的信徒们的人生，被一系列严苛又细致的规矩统治着，任何一个想要加入这个学派的人，必须经过5年的静默期。毕达哥拉斯学派的信徒们不得拥有任何个人财产：他们全部的财物都属于公中所有。为了在人群中彼此认出，信徒们使用不同的接头符号，比如圣十结构或者五芒星形状。此外，毕达哥拉斯学派的信徒们认为自己是开明的、受到启蒙的人，因此也当仁不让地觉得政治权力应当归他们所有，坚决镇压那些拒绝他们统治权威的城市发起的叛乱。毕达哥拉斯正是在85岁那年，死于这样一场叛乱之中。

围绕着毕达哥拉斯的各种数不胜数的传奇故事也令人印象深刻。这么说吧，毕达哥拉斯的门徒们最不缺乏的，就是想象力了。据他们说，毕达哥拉斯就是光明之神阿波罗的儿子。“毕达哥拉斯”（Pythagore）这个名字，字面上的意思就是“被皮媞亚（Pythie）预言的人”：德尔菲神庙的皮媞亚的确是（古希腊信仰中）能够传递阿波罗神谕的先知，也正是她向毕达哥拉斯的父母宣告他们未来孩子的到来。根据神谕的说法，毕达哥拉斯将会是这个世界上最美丽、最有智慧的人。有着这样一种出身，这位希腊学者注定是要成就大事的。毕达哥拉斯记得他过去若干轮回中的所有事情，例如他正是特洛伊战争中的英雄之一，那一世他叫尤福碧（Euphorbe）；在年轻的时候，毕达哥拉斯参加了奥林匹克竞技，赢得了所有古希腊拳击比赛（现代拳击运动的始祖）的冠军；毕达哥拉斯是发明音阶的人；毕达哥拉斯能够在空气中凌波微步；毕达哥拉斯死了又复活了；毕达哥拉斯拥有预言和行医的才能；毕达哥拉斯能够命令动物；毕达哥拉斯有一条纯金大腿。

虽然这些传说中的大部分都太离谱了，根本不足为信，然而对于另外一部分来说，就很难判断真假了。比如，据说毕达哥拉斯是第一个使用“数学”（mathématiques）一词的人，这是真的吗？种种“事实”是如此的靠不住，甚至有些历史学家干脆提出这样的说法，认为毕达哥拉斯根本就是一个想象出来的人物，被毕达哥拉斯学派的门徒们创造出来，作为他们的守护神。

那么，为了能够更多地了解这位“大神”，让我们回到这个在毕达哥拉斯死后2500多年的今天，全世界的小学生都知道的毕达哥拉斯定理（勾股定理）吧！这个举世闻名的定理告诉了我们什么呢？该定理的叙述看上去很不可思议，因为它在两个看上去似乎不太相关的数学概念之间建立了联系：直角三角形和平方数。

让我们回到我们最喜欢的直角三角形，3∶4∶5。从这三个边长出发，我们能够得到三个边长的平方数：9、16和25。

然后，我们能够发现一个奇怪的巧合：9+16=25。边长3的平方和边长4的平方，相加等于边长5的平方。有人或许会认为这只不过是个巧合，然而，如果我们换一个直角三角形进行同样的运算，这个规律依然是存在的。让我们以普林顿古巴比伦黏土板上发现的边长为65∶72∶97的直角三角形为例，三条边长对应的平方数分别为4225，5184和9409，而毫无疑问，4225+5184=9409。这个例子中的数字很大，因此很难相信这仅仅是一个巧合。

我们同样也可以用任意直角三角形进行验证，大直角三角形或者小直角三角形，无论什么形状的直角三角形，这条规律始终存在！任意一个直角三角形，两个直角边长度的平方和总是等于第三条边（我们称之为斜边）长度的平方。而这条论述反过来也是成立的：如果一个三角形，它的两条边长的平方和等于第三条边长的平方，那么这就是一个直角三角形。这就是毕达哥拉斯定理！

当然，我们并不清楚，究竟是毕达哥拉斯还是他的门徒们发现了这条定理。虽然古巴比伦人并没有像我们在上一段中所做的那样，把对勾股定理的描述写下来，但是他们很有可能在1000多年前就已经知道这件事儿了。毕竟，如果不是这样的话，古巴比伦人是怎么找到普林顿黏土板上列举出的那么多直角三角形的呢？并且，古埃及人和古代中国人很有可能也是知道这个定理的。很显然，古代中国人也将这个定理的相关描述记录了下来，在《九章算术》被编纂出来后的若干个世纪中，不断地被增补到这本书的注解里。

有一些记录声称，是毕达哥拉斯第一个给出了这个定理的证明，然而并没有可靠的信息来源能够证实这一点。我们发现的、现存最古老的证明出现在毕达哥拉斯三个世纪之后的、由欧几里得撰写的《几何原本》中。

[1] 译注：位于巴黎的科学与工业城是欧洲最大的科学博物馆。

[2] 译注：La Géode是一个网格球顶建筑，接近球形，位于巴黎19区的维莱特公园。它同时是一个电影院和电影发行公司，法国独立电影联盟（SDI）成员。

[3] 译注：在法国，每个周三下午中小学生都放假，因此很多家庭利用这半天的时间搞“亲子活动”。

[4] 译注：这个后缀来自于法语“多面体”，即polyèdre。