| 第三章 |
不习几何者不得入内

数字被发明了出来，数学在不久之后也将面临学科分支的出现。在数学领域，有很多分支，诸如算术学、逻辑学或者代数学，将会一点点萌芽，直到趋于成熟，成为一门独当一面的独立学科。

在所有这些分支中，其中有一支将会迅速地脱颖而出，吸引古典时期最伟大的先哲们的注意力，那就是几何学。正是由于几何学的出现，才成就了人类历史上第一批最伟大的数学之星，比如泰勒斯、毕达哥拉斯和阿基米德，他们的名字直到今天还出现在我们的课本里。

然而，在进入伟大的思想家们的视野之前，几何学是在“田间地头”赢得自己的声望的。这一点从几何学（géométrie）一词的词源就能够看出来，它首先是一门测量地表的科学，最初的土地测量员们将会成为家门口的数学家。彼时，田地的分割是经典的常见问题之一。如何将一块田地平均分配？如何从田地的表面估算出它的价格？两块田地之间，哪一块更靠近河岸？在将来建设水渠的时候，应该遵循什么样的路线才能实现最短路径？

所有这些问题，都是在整个经济系统依然主要与农业生产息息相关，也就是与土地分配紧密相关的古代社会中至关重要的。为了解决这些问题，人类建立了几何学的知识体系，并且逐渐将其丰富成为一门学科，然后代代相传。拥有几何学知识的人，毫无疑问能够在社会当中具有无法被忽视的重要地位。

对于这些专业的测量人士来说，绳索往往是最初的几何学工具。在古埃及，绳索调制员是一份全职的工作。每当尼罗河涨水，导致定期的洪水泛滥，绳索调制员就被召集起来，重新确定尼罗河两岸的土地边界。根据既有的、关于田地的知识，他们就能够打下小木桩，在田地间展开长绳，然后进行计算，找出将会受到洪水影响的范围。

当人们建造建筑物的时候，也要首先邀请这些人来测量地面，根据原有建筑计划，确定精确的建筑场地。至于建筑神庙或者重要的纪念性建筑，有时法老甚至会出面，象征性地拉起第一根绳子，以表重视。

必须得说，绳索在当时简直是一种集大成的几何学测量神器。对于土地测量员们来说，绳索是直尺、圆规和三角尺。

作为直尺，原理很简单：只要在固定的两点之间拉直绳索，你就能够得到一条直线。如果你想要一条带刻度的直尺，只需要在绳子上等距地打上几个结就好了。至于用绳索做圆规，也不是什么难事儿，只需要固定绳子的一端，然后用另一端围着固定端转一圈，就得到了一个圆。如果绳子有刻度，你就能够轻松地控制这个圆的半径。

然而，用绳索当三角尺，情况就有些复杂了。让我们在这个问题上多停留一会儿，思考一下：如果要画出一个直角，你会怎么做？只要稍微做一些研究，你就能够想象出几种不同的方法。比如，假设你画了两个彼此相交的圆，然后，做一条直线连接两个圆的圆心，再做一条直线连接两个圆相交的两个交点。两条直线相交，你就得到了一个直角。

从纯理论的角度来说，这种方法无懈可击，但是在实践当中，情况则更加复杂。想象一下，每当穿越田间地头的土地测量师们需要画一个直角，或者就是为了检查一下已经画好的一个角的确是直角的时候，都不得不先花费力气画出两个大圆。这种方法很耽误时间，也很没有效率。

于是，土地测量员们采取了另外一种更巧妙也更实际的方法：直接用他们的绳索“制作”出一个带有直角的三角形。这种类型的三角形被称为“直角三角形”。直角三角形中最出名的，是边长比为3∶4∶5的勾股三角形。如果你在绳子上打出等距的13个结，将其长度进行12等分，你就能够得到一个边长单位分别为3、4和5的直角三角形。仿佛奇迹般地，边长3和边长4形成的角就是一个直角。

在4000多年以前，古巴比伦人已经画出了一个表格，掌握了能够画出直角三角形的边长数字。目前收藏在美国纽约哥伦比亚大学的普林顿322号黏土板，能够追溯到公元前1800年，上面展示了15组这样的三角形边长数据。除了边长比为3∶4∶5的三角形之外，人们还发现了其他14个三角形，其中有一些相当复杂，比如65∶72∶97或者1679∶2400∶2929。除了少数一些误值——计算错误或誊抄失误——之外，普林顿黏土板上的三角形是完全正确的：所有的三角形都是直角三角形！

我们很难彻底弄清楚，古巴比伦的土地测量员们是从什么时候开始在测量土地时使用直角三角形知识的，但可以肯定的是，在古巴比伦文明消失之后，这种测量方法依然流传了下来。在中世纪的时候，具有13个结的绳索——也被称为“德鲁伊[1]之绳”，依然是天主教教堂的建筑者们主要使用的几何工具之一。

当我们在人类数学史中徜徉漫步的时候，经常能够发现，有一些相似的概念会在相隔数千千米的截然不同的文化背景下独立地出现。比如以下这个经常让西方世界感到惊奇的奇怪巧合之一：早在公元前11世纪，中国文明就已经具有了数学知识，与古巴比伦文明、古埃及文明和古希腊文明恰好同时，实在是很奇妙的相互呼应。

在中国，数学知识历经几个世纪的积累，最终在距今2200多年前的汉朝时被编纂成书，这就是人类早期历史上伟大的数学著作之一：《九章算术》。

《九章算术》这本书的第一章，致力于测量不同形状的田地的研究。矩形、三角形、梯形、圆形、扇形甚至环形，诸如此类，大量的几何形状面积的计算过程被详细地记录了下来。在这本书的第九章，也就是最后一章中，居然是关于直角三角形的研究。猜一猜这一章的第一句话中提到的是什么……是勾股定理！

这就是所谓的“英雄所见略同”。好的想法总是会超越文化差异，当人类的心智已经做好准备迎接其到来的时候，它们总是会自发地兴旺起来，蓬勃发展。

一些时代性的问题

土地测量的问题、建筑问题，或者更普遍意义上的国土整治问题，促使古代的先哲们提出各种各样的几何学问题，以下就是几个例子。

下面的一段话，出自古巴比伦黏土板，编号BM85200，它表明了古巴比伦人并不仅仅满足于平面几何，同样也在思考空间的问题。

一个地窖。与长度相同：深度。1，泥土，我挖出来的。我的地面和我填充的泥土，1又10分。长度与宽度，50分。长度，宽度，多少？[2]

你应该已经看出来了，古巴比伦人的数学写作风格有点儿像某种电报。经过一些细节的补充，同样的一段话可能看起来如下：

一个地窖的深度是长度的12倍[3]。如果我继续挖掘我的地窖，使它的深度多出1，那么它的体积就是原来的7/6。如果我将长度和宽度相加，我得到5/6[4]。地窖的长、宽、深度分别是多少？

具体的解决方法伴随着这个问题通往最终答案，地窖的长度是1/2，宽度是1/3，深度是6。

现在让我们前往尼罗河游历一番。不出所料，我们在古埃及人那里遇到了金字塔的问题。下面的这段话摘录于一份由古埃及誊写人雅赫摩斯撰写的莎草纸记录，时间可以追溯至公元前16世纪的上半叶。

一座金字塔，底部的边长为140肘[5]，其斜率[6]是5掌1指，金字塔的高度是多少？

一肘、一掌、一指是当时的测量单位，换算成现代通用度量，分别等于52.5厘米、7.5厘米和1.88厘米。雅赫摩斯同样也给出了解答：93又1/3肘。在同样一张莎草纸上，这位誊写人还演算了关于圆周的几何学。

计算一块直径为9k het的圆形田地的示例。这块地的占地面积为多少？

khet同样也是一个计量单位，等于52.5米。作为这个问题的回答，雅赫摩斯认为，直径为9khet的圆形的面积等于一块边长为8khet的正方形的面积。这种替换被大量地使用，因为计算正方形的面积比计算圆形的面积容易得多。于是他得出了8×8=64的答案。然而，在雅赫摩斯之后的数学家们却发现，他的答案是不准确的。圆形的面积和正方形的面积并不完全一致。于是，后来有很多人都试图解决这一问题：如何构建一个正方形，使其面积等于一个圆。很多人费尽心思却失败了，这几乎是必然的。雅赫摩斯，无心插柳地，成了第一批试图破解有史以来最令人抓狂的数学问题——化圆为方——的先驱者之一。

在古代中国，人们同样也试图计算出圆形区域的面积。下面这个问题出自《九章算术》的第一章。

今有圆田，周三十步，径十步。问为田几何？[7]

上文中的“一步”约等于1.4米。与古埃及人一样，古代中国的数学家们用脚步来丈量圆周的数据。我们现在已经知道，上面的数据是错误的，因为一个直径为10的圆周，周长一定是比30略大的。然而，这并不妨碍古代中国的数学家们得出了一个近似的圆面积数字（75步），也没有阻碍他们向更难的计算——圆环的面积——发出挑战的决心！

今有环田，中周九十二步，外周一百二十二步，径五步。问为田几何？

毫无疑问的是，在古代中国，不会真的有“环形”的田地，我们可以推断，《九章算术》中的这些环形面积的问题，是这个古代中原帝国的学者们玩儿的几何学游戏，他们提出这些问题只是为了进行理论挑战罢了。寻找各种不大可能存在的、奇形怪状的几何图形，并且学习之、理解之，直到今天，依然是当代数学家们最喜欢的消遣。

在与几何学相关的职业中，我们还不得不提到古希腊的“皇家测量员”。如果说土地测量员或者绳索调制员的工作就是测量土地或者建筑物的话，那么皇家测量员的眼界则要开阔得多！在古希腊，这些皇家测量员的工作，就是通过走路来测量距离的长短。

有的时候，皇家测量员的工作会把他们带到离家很远很远的地方。因此，公元前4世纪，亚历山大大帝在出征亚洲的时候，也带上了几个皇家测量员，这些人将帝王一直带到了现在的印度边境一带。这些长达数千千米的路线，都是由这些步行者们一步步测量出来的。

现在让我们上升到一定高度，想象一下这个奇怪的场景，这些男人们，踏着有韵律的节拍，一步步地穿越西亚北非地区无边无垠的旖旎风光。我们能看见他们穿越美索不达米亚北部的高地，沿着干旱的土黄色西奈半岛一路向前，最终抵达了尼罗河流域两岸丰饶肥美的土地；然后，他们又掉头折返，义无反顾地向波斯帝国绵延不绝的山地和现今阿富汗地区的大漠前进。你是否看到他们神色坚定，一步一步地走着，踏着枯燥又单调的节奏，徒步翻越兴都库什山脉一座座巨大的山峦，然后沿着印度洋的海岸一路返回？他们孜孜不倦地计算着自己的脚步。

这样的场景让人心生激荡，这些皇家测量员的出格事业看上去是如此荒谬。然而，他们得到的结果却是非常准确的：他们测量得到的结果，与我们今天所知的实际距离，误差不超过5%！因此，亚历山大的皇家测量员们使得从几何学上描述古希腊帝国成为可能，这是前无古人的壮举，因为没有人曾经丈量过如此广袤的区域。

两个世纪之后，在埃及，来自古希腊的学者埃拉托斯特尼想要搞个更大的事情。他想要测量的是……地球的周长。你没看错，千真万确！当然了，我们毕竟不能真的派遣可怜地皇家测量员们围着地球走一圈。然而，埃拉托斯特尼巧妙地通过观察塞因市（即现今的埃及阿斯旺市）与亚历山大港之间的太阳光线倾斜角度的差别断定，这两个城市之间的距离，应该是地球周长的1/50。

于是，自然地，埃拉托斯特尼找来了皇家测量员来测量两个城市之间的距离。与古希腊的前辈们不同，古埃及的皇家测量员没有通过数自己的步数来测量，而是数他们的骆驼伙伴的步数。骆驼这种生物，以步伐均匀稳健而知名。经过一段漫长的、沿着尼罗河的旅行，结果出来了：两个城市之间的距离为5000个场[8]。因此，我们的地球的周长为25万个场，也就是39 375千米。再一次地，这个结果展现出惊人的准确性，因为，今天的我们已经知道，地球的真实周长为40 008千米。埃拉托斯特尼的计算误差仅有2%！

也许与其他的古代人相比，古希腊人在自己的文化中为几何学赋予了更加崇高的地位。古希腊人认为，几何学因其严谨性和能够训练头脑而尊贵。对于柏拉图来说，想要成为哲学家，几何学是必由之路。相传，在柏拉图学院的正门上，刻着这样的座右铭：“不习几何者不得入内。”

彼时，几何学是如此时髦，以至于它最终突破了自我，渗透进了其他的学科之中。如是，数字的运算属性也被用几何语言来解释。比如下面欧几里得做出的定义——选自他写于公元前3世纪左右的《几何原本》中的第七卷：

当两个数相乘得到另外一个数字的时候，这个产生的数字被称为“平面”，而这个平面的边长就分别是这两个相乘的数字。

如果我做乘法5×3，那么根据欧几里得所说的，数字5和数字3就是这个乘法的“边”。为什么呢？很简单，因为乘法可以被表示为一个矩形的面积。如果这个矩形的宽为3、长为5，那么它的面积就等于5×3。于是数字3和5就是矩形的边长。这个乘法运算的结果，15，欧几里得称之为“平面”，在几何学上，正好对应这个矩形的面积。

类似的结构也适用于其他的几何形状。因此，一些数字被称为“三角数字”——如果我们能够用三角形的方式来表示它。第一批被称为三角数字的有1、3、6、10。

前页图中最右边由10个点构成的三角形，正是著名的“圣十结构”，被毕达哥拉斯和他的追随者们认为是宇宙和谐的象征。鉴于同样的原理，我们还能找到一些“正方数字”，首先就是1、4、9和16。

当然了，我们可以继续下去，建立起数字与几何图形之间的联系，这一定会花费我们不少时间。总之，数字的几何化表示使得其特性变得可视化，更加一目了然，如果不这样做，一切似乎都很难以理解。

让我们再举一个例子，你有没有尝试过将所有的奇数逐个相加：1+3+5+7+9+11+……没试过吗？可是，如果你这样做了，会大吃一惊。看着：

1

1 + 3 = 4

1 + 3 + 5 = 9

1 + 3 + 5 + 7 = 16

看到这些数字的特点了吗？按照顺序：1、4、9、16……正好是正方数字！

如果你愿意，可以继续算下去，但是就算是算到地老天荒，这个规则依然是成立的。如果你有勇气挑战，那就把前十个奇数相加，从1到19，你会得到100，也就是第十个正方数字：

1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19

= 10 × 10 = 100

很神奇，不是吗？但这是为什么呢？到底是什么样的魔法，才能让这种规则始终成立？当然了，我们可以从数理的方式出发来证明它，但是还有更简单的方法。得益于几何表达，我们只需要将正方数字切片，就能够亲眼看到答案了。

每增加一条折线，相当于给如上图所示、由小球构成的正方形增加奇数个球，方形的边长也增加了一个单位。证明完毕，简单明了。

总之，在数学王国，几何学是当之无愧的女王，如果不经过她的筛选，没有任何声明能够被验证。几何学的霸权将超越古典时代和古希腊文明长久地流传下去，人类需要再花上将近2000年的时间，才能等到文艺复兴时期的学者们发起一场广泛的、数学的现代化运动。这场运动会将几何学赶下唯我独尊的王位，取而代之的是一门全新的语言：代数语言。

[1] 译注：在凯尔特神话中，“德鲁伊”具有与众神对话的超能力。古罗马时期的凯尔特人部落中，德鲁伊具有多重身份，包括僧侣、医生、教师和法官，他们拥有权力并且受到尊敬，是君王的顾问和百姓的统治者。

[2]法语版由Jens Høyrup翻译，参见《古巴比伦时代的代数学》（L'a lgèbre au temps de Babylone），Éd it ions Vuibert / Adapt-SNES, 2010。

[3] 根据黏土板上的内容判断，似乎是说地窖的长度和深度是一样的，但是在古巴比伦的单位系统中，测量深度的单位是测量长度的单位的12倍。

[4] 同样应该注意的是，古巴比伦人使用的是六十进制的计算系统，所谓“1又10分”换算成十进制，应该是“1+10/60”，所以在我们当前的系统中，可以用分数7/6来表示。因此，古巴比伦的“50分”可以用我们十进制中的分数5/6（或者50/60）来表示。

[5] 译注：肘，即腕尺，是古老的长度单位，以手肘到中指顶端的距离为准。在中世纪及近代世界许多地区都有“肘”这个单位，而长度完全不一样，最早使用这一单位的是古埃及人。后面的掌、指也是长度单位。

[6] 金字塔某一面的斜率，在埃及语中也被称为“谢特”（seked），相当于两个高度之间相差1肘尺的定点在水平线上投影的距离。

[7]法语版翻译自Karine Chemla和Shuchun Guo翻译的《九章算术》（Les neuf chapitres），Éditions Dunod，2005。

[8] 译注：“场”指的是古希腊时期的运动场，因此“场”也是古希腊时期的长度单位，1个场约为157.5米。