2.有趣的硬币游戏

可见和不可见的硬币——没有底的杯子——硬币都去哪里了？——任务：放硬币——硬币在谁的手里？——小游戏：摆硬币——一个关于古印度的传说——求解难题。

“哥哥，你昨天答应为我表演硬币魔术的。”早晨我吃早饭的时候，提醒哥哥道。

“早晨表演什么硬币魔术？既然答应了你，那好吧，就给你表演一个。你去厨房拿一个空碗过来。”

哥哥把一枚硬币放在了空碗的底部，放完硬币对我说：“你仔细看着碗的底部，眼睛不要看别的地方。你能看见硬币在哪儿吗？”

“当然看得见。”我很不屑地说道。

这时，他把碗从我的眼前挪远了一些，问我：“在这个位置你还能看见它吗？”

“我能看见硬币的边缘。其余的部分都被挡住了，我看不到。”

紧接着，他把碗又挪远了一些，这次的距离很远，硬币被完全遮挡了起来。

“你待在那里别动。我在碗里倒点水。现在你可以看到硬币吗？”

“我现在可以看见整枚硬币了，为什么我看到硬币和碗底似乎都浮了起来？”

这时，哥哥用铅笔在纸上画了一个碗，这是一个内装硬币的碗。当哥哥画完后我恍然大悟。把一枚硬币放到空碗的底部，硬币处的光线并不会传到眼睛里，因为光是沿着直线传播的，不透明的碗壁的位置刚好位于眼睛和硬币之间。当哥哥将水倒入碗里后，硬币处的环境就出现了变化：光线从水到空气的过程中发生了偏折现象（物理学家称这种现象为“折射”），硬币的图像会越过碗沿，来到眼睛里。我们看到的东西都是眼前的东西，所以我们会理所应当地认为硬币换了位置，它应该在略高一点的折射光线的延伸点，所以我们会感到碗底和硬币好像浮起来了（图6）。

“我希望你可以理解并且记住这个实验。”哥哥认真地说道。

“当你游泳的时候，你会用到这个原理的。”哥哥接着说，“当你在能看得见底的水里游泳时，你要记得今天的实验。事实上，你看到的水底的深度要比真正水底的底部高一些，它的高也是非常规律的：高出整体深度的。让我向你展示一些数字吧，如果水的真实深度是1米，而你看到的水的深度则只有75厘米。也正是因为这个原因，许多游泳的小朋友在游泳的时候频发意外。因为他们从看到的假象对水的深度做出了错误判断，从而导致了悲剧的发生。”

在生活中我们可以发现，当一艘小船在能看见底的水面上划动的时候，总觉得船底才是水的最深处，而船周边的水都很浅。当船移动到另一个位置时，感觉船周边的水更浅了，而位于船所在位置的水又更深了。你认为深水位仿佛随着船一起移动。这又是什么原因导致的呢？

当你看到这种现象的时候，你应该不会感到很犯难了。这其中的原因就是，从船下水里折射出来的光线几乎是垂直的，它不大可能改变自己原来的方向，所以我们会觉得那里的水底斜射的光线会比从别处进入我们眼睛的光线高一些，这就会让人觉得水好像变深了。按照我们所看到的，我们会认为最深的地方就在船底，事实上，水的深度是一样的。

“接下来我们来做一个不同的实验。”

哥哥在一个玻璃杯里灌满了水，他说：

“我现在往杯子里投入1枚两戈比硬币，你猜猜会发生什么？”

“毫无疑问，水一定会溢出来啊。”

“那我们就来好好看看吧。”

哥哥非常仔细地，尽量不引起抖动，将一枚硬币放入装满水的杯子里。水一点儿都没有溢出来，这让我感到很奇怪。

“放完一个后，我们试着再放入另外1枚硬币。”哥哥说道。

“这样的话，水肯定会溢出来的！”我向哥哥警告道。

我的预言又错了，第二枚硬币被放到杯子里了。随后哥哥将第三枚、第四枚硬币也放入了杯子里。

“这个杯子就像是个无底洞！”我感叹道。

哥哥没有回应，他还在一枚接一枚地放着硬币。第五枚硬币、第六枚硬币、第七枚两戈比硬币被放到了杯子里，它们落到了杯底，杯中的水仍然没有丝毫的反应。我被眼前的一切惊呆了，急切地问哥哥这是怎么做到的。

哥哥并不打算马上跟我解释原因，仍然认真地往杯子里放硬币，直到放完第十五枚时，他才停下来。“就放这些吧。”哥哥说道。

“你看啊，杯沿的水都鼓胀起来了。”

是的，水的高度确实比杯子的高度还高，在杯沿处产生了一圈水，仿佛装在了一个透明的袋子里。

“整个秘密都藏在了这些膨胀的水里。”哥哥说，“这些水就是被硬币挤出来的。”

“15枚硬币才挤了这么点儿水出来？”我感到很不可思议，“15枚硬币放在一起是很多的，而水就那么薄薄一层，它最多也就比1枚两戈比硬币厚一点。”

“你不要光想着计算高度，计算面积也很重要啊。哪怕水层的高度比1枚两戈比硬币还要薄，但是它宽了多少倍呢？”

我恍然大悟。杯口比两戈比硬币宽了差不多4倍啊。

“在厚度一样的情况下，杯口比两戈比硬币宽4倍，那么，水层只比戈分硬币大4倍。按照我的推论，杯子里可以放4枚硬币，可你放了足足15枚，而且我感觉继续放也是没有问题的。这些奇怪地方都是哪儿来的？”

“你的计算方法是错误的。如果一个圆的圆周比另外一个圆的圆周长4倍，那么它的面积就是16倍，而不是4倍了。”

“这是怎么回事？”

“这是基础运算。我问你，1平方米等于多少平方厘米？别跟我说是100。”

“当然不是，是100×100=10000。”

“这就对了。这个规则同样适用于周长的计算：两倍长就是面积的4倍，3倍长就是面积的9倍，4倍长就是面积的16倍，依此类推。换句话说就是，杯子里面多出来的水的容积是两戈比硬币体积的16倍。你现在知道是怎么回事了吧，为什么放了这么多硬币，杯子里面还有放硬币的地方？因为超出杯沿的水的厚度可以赶上大约两个硬币的厚度。”

“难道说这个杯子里还可以放20枚硬币？”

“如果放硬币的时候足够小心，甚至还可以放得更多一些。”

“要不是亲眼所见，我真的不会相信一个已经装满水的杯子还可以放这么多硬币！”

不过，当你看见杯子里硬币堆得像小山一样，你不信也得信了。

“你可不可以把11枚硬币放进10个小茶碟里，但是，每个茶碟里只允许放1枚硬币？”哥哥问我。

“是装满水的茶碟吗？”

“没有水的茶碟也可以啊。”哥哥边微笑着说边把10个碟子摆成了一排。

“这也是物理实验吗？”

“这算是心理实验。你开始做吧！”

“我不可能把11枚硬币放进10个茶碟里的。我做不到的。”

“你尽管做吧，我可以帮你一起完成。我们拿过第一个碟子，在里面放入第一枚硬币，然后暂时把第十一枚硬币也放进来。”

也就是说，我在第一个小茶碟里放入了两枚硬币，但是我不知道该怎么继续下去了。

“你把那两枚硬币放好了吗？接下来你把第三枚硬币放入第二个茶碟里。第四枚硬币放进第三个茶碟里，就这样以此类推，直到放完所有的硬币。”

我按照哥哥的方法做着，当我把最后一枚硬币放到第9个小茶碟里的时候，突然发现，第10个碟子里一个硬币也没有！

“现在你把第一个小茶碟里的第11枚硬币放到第10个小茶碟里面。”哥哥说完，就直接把第11枚硬币拿出来放到了第10个小茶碟里了。

现在10个茶碟里静静地躺着11枚硬币，而且每个茶碟里都只有1枚硬币。我感到很惊讶！

哥哥很快就收完了所有的硬币，我想追问其中的原因。但是哥哥并不打算解释给我听。

“你应该自己悟出其中的道理。这样比你直接知道现成的答案更有意义，也更有乐趣。”

紧接着，哥哥又给我安排了新的任务。

“这里有6枚硬币，要求是将它们摆成三排，每一排需要3枚硬币。”

“按照你的要求摆，我需要9枚硬币。”

“用9枚还有什么意思呢？你只能用6枚。”

“难道这又是什么不可能完成的任务吗？”

“你不能每次都不思考就放弃吧！来，让你看看这到底有多简单。”

接着他把硬币摆成了如图7的样子：

“你看，这不就是答案吗？”他很骄傲地说道。

“但是这是交叉排列啊。”

“要求没有不允许交叉排列啊？”

“要是我一开始就知道可以这样做，我也可以想办法完成啊。”

“完成这个任务的方法有很多，你可以尝试用别的方法啊。有时间你可以尝试一下，还有三个任务要给你做。”

“任务一：你需要把9枚硬币摆成8排，每排3枚。”

“任务二：你需要把10枚硬币摆成5排，每排4枚。”

“任务三：我画好了一幅6×6方格图（图8）。你要把18枚硬币放到图上的方格里，保证每个纵向和横向的方格里都有3枚硬币。我还联想起另外一个硬币魔术。你左手拿着1枚15戈比的硬币，右手拿着1枚10戈比的硬币，不能让我看见，也不要让我知道你的左右手各拿了多少面值的硬币。这个由我来猜。你在心里做如下的运算就好：把你右手里的硬币数目加一倍，左手里的硬币数目加三倍，然后将所得的结果相加。听好了吗？”

“我知道了。”

“你所得的是奇数还是偶数呢？”

“奇数。”

“你的右手里有10戈比硬币，左手里有15戈比硬币。”哥哥很快就回答出来了。

我们又玩了一回。这回得数是偶数，哥哥又再次准确地猜了出来，我左手里面有10戈比硬币。

“当你有空的时候可以仔细思考一下这个游戏。”哥哥说。

“我最后给你展示一个更有趣的硬币游戏。”

哥哥把三个茶碟摆成了一排，他将一摞硬币放在了第一个茶碟里：最底下的硬币是1卢布，1卢布的上面是50戈比，然后是20戈比、15戈比和10戈比（图9）。“现在要把这一摞硬币全都移到第三个碟子里，而且还必须遵守下面的规则：第一，一次只能移动1枚硬币；第二，将面值大的硬币放在面值小的硬币上是不允许的；第三，可以在中间的茶碟里放硬币，不过只能是暂时的，请记住，玩完游戏的时候，所有的硬币必须按照在第一个碟子里时的摆放方式出现在第三个碟子里面。我把规则讲清楚了，你开始动手吧。”

哥哥话音刚落，我就开始一个个移动硬币了。我在第三个茶碟里放了一个10戈比的硬币，然后在中间茶碟里放了一个15戈比的硬币，放完后我就不知道该怎么做了。20戈比的硬币应该放到哪里呢？它的面值可比前两枚硬币的面值都要大啊。

“你又遇到什么麻烦了？”哥哥很关心地问道。

“你在中间茶碟里放一个10戈比，把它放在15戈比的上边，如此一来，第三个碟子里面就可以放个20戈比的。”

这个难题解决了，又来了个新的难题。50戈比的硬币应该放在哪里呢？我很快想出对策，在第一个碟里放10戈比硬币，15戈比的硬币放进第三个碟，随后把10戈比的硬币也移到第三个碟子里面。这样一来，50戈比的硬币就可以放到空出来的碟子里了。然后我又尝试了很多的移动办法，终于把1卢布的硬币从第一个茶碟里移出来了，把一摞硬币按照一开始的摆放方式移动到了第三个碟子里面。

“你总共移动了多少次？”哥哥称赞了我的表现后问道。

“我不记得了。”

“那好吧，现在我们来计算一下。用最少的步骤来达到目的是很有趣的。如果只给你一枚15戈比的硬币，一枚10戈比的硬币，而不是原来的硬币数目，你需要移动多少步呢？”

“3步就可以了：在中间碟里放一个10戈比的，第三个碟里放一个15戈比的，最后10戈比的移到第三个碟里。”

“完全正确。再加一个20戈比的会怎样呢，我们来计算一下吧，看这回我们需要移动多少步。我们这样做：把2枚小面值的硬币按顺序移到中间的碟里，我们刚才做过，这需要3步。在第三个碟里放一个20戈比的硬币，这是1步。把这2枚硬币从中间碟子里面移到第三个碟里，这需要三步。所以想要达到这个效果至少需要7步。”

“我用自己的办法计算一下4枚硬币到底需要多少步。移动3枚小硬币到中间的碟，这需要7步，随后把50戈比的硬币放到第三个碟里，这又要需要一步；最后再把3枚小硬币移到第三个碟，还需要7步。因此总共需要15步。”

“你的进步很大啊，那你再想想5枚硬币需要多少步呢？”

“计算方法应该是：15+1+15=31。所以至少需要31步。”

“你现在已经掌握计算方法了。但我可以告诉你一个更加简单的方法。事实上，我们已经做了很多次实验了，所以你有没有发现这样一个固定的计算规律呢？我们每次计算出的得数大多都类似于3、7、15、31，这样的一些数目，如果你足够细心，你就会发现这些数大多都是2的倍数减1。”

3=2×2-1

7=2×2×2-1

15=2×2×2×2-1

31=2×2×2×2×2-1

“通过这个规律你大概明白一些了吧。你需要移动多少枚硬币，移动的步数就是几枚硬币数目的2相乘再减去1。例如，移动7枚硬币需要：2×2×2×2×2×2×2-1=128-1=127步。”

“不错，你已经可以熟练玩这个游戏了。但是你必须知道一个游戏规则：如果硬币的数目是奇数，你就要将第一枚硬币先放到第三个碟里，如果第一枚硬币是偶数，就将它放到中间的碟里。”

“这个游戏是你想出来的吗？”

“不是，我只是把游戏的规则用到玩硬币上了而已。这个游戏起源于印度。关于它，还有一个非常有意思的传说。在贝纳列斯城好像有座寺庙，印度神伯拉玛就在这个神庙里，传说他在创造世界时设置了三根金刚棒，一根金刚棒上套了64个金环，最大的金环放在了金刚棒的最下面，最大的金环上边的金环一个比一个小。庙里的祭司们不断地把这些金环从一个金刚棒套进另一个金刚棒里，第三根金刚棒充当辅助棒的作用。我们还要遵守玩游戏的规则：一次只能套一个一环，并且必须是大环在小环的下面。神话故事里是这么说的，如果把这64个环全都移动完的话，世界末日就会来临，地球就会毁灭。”

“如果这个童话故事是真的，这个世界早就该毁灭了！”

“你觉得移动64个环花费的时间很少是吗？”

“一秒钟可以移动一步，那么一个小时可以移动3600次。”

“然后会怎么样？”

“不间断地移动，一天一夜将近10万次，10天就是100万次。100万次，别说移动64个环，就算是1000个环都没问题了。”

“事实上，要想移动完这64个环，需要整整5000亿年的时间！”

“怎么会这样？移动的次数不就是64个2的乘积再减1吗？”

“是18亿亿次多，换个表达方式就是百万的百万的百万。”

“等一下，我仔细计算一下。”

为了便于计算，我先计算出16个2的乘积，然后把乘积65536再乘以这个得数，最后将所得的数两两相乘。整个过程的计算枯燥乏味，不过我仍然耐着性子计算，直到把它算完为止。最后我得到了这样一个数字：18446744073709551616。

我承认，哥哥是对的。

我现在鼓足勇气，准备做哥哥留给我的需要独立完成的题目。与上一个题目相比，这些题目好像没有那么复杂，有些甚至非常简单。11枚硬币放10个茶碟里的游戏，我可以轻松地完成：我们将第一枚和第十一枚硬币放到第一个茶碟里的时候，又在第二个茶碟里放入第三枚硬币，第三个茶碗放第四枚，第五枚，依次放下去。可是第二枚硬币在哪里呢？第二枚硬币一直都没有被用过！这就是整个游戏的关键所在！猜手里的硬币是哪一枚的答案也没想象中那么难：15戈比的两倍是偶数，三倍就是奇数。但是像10戈比的这样的数目无论几倍都是偶数。依据以上总结的规律可以发现如果得数是偶数，那么15戈比就是被乘了两倍，它就在右手里；如果得到的结果是奇数，那我们就很容易想到，数目就是15戈比的3倍，它就在左手里。根据图10所示，摆硬币的答案也就非常明确了，左图为任务一的答案，右图为任务二的答案。

图11是方格图里摆硬币的答案：在有36个方格的图里放置18枚硬币，每一排和每一列里的硬币枚数都是3枚。