一、一般形式的生产函数

生产函数的一般形式反映了人们的劳动生产力，体现的是生产过程中人和自然的关系。它以抽象的数学形式描述了具体劳动形成使用价值的过程，概括了任何社会形态中进行物质生产的一般过程及其生产中所需要的基本要素和产出的连续和不连续的关系。下面我们分别对具有连续性和非连续性的各种一般形式的生产函数加以分析。

（一）简单的一般形式的生产函数

如上所述，生产函数的一般形式反映人类进行劳动、生产物质资料的能力，即生产力。生产力由人的劳动、劳动资料和劳动对象构成，生产力所固有的发展规律正是这三个要素矛盾运动的结果。因此，反映一般物质生产过程的生产函数为

该式是简单的一般形式的生产函数。式中Q为产品产量即使用价值量，L、I和S分别为投入生产过程中的劳动力数量、劳动资料和劳动对象数量。

生产力的要素又可归纳为两类：一是人的要素——劳动者；二是物的要素——生产资料（劳动资料与劳动对象）。因此，又可以认为，生产力是由两大基本要素构成的。这样，简单的一般形式的生产函数还可表述为

式中L代表劳动力数量，K代表生产资料数量。（1.1）式和（1.2）式反映了具体劳动和生产资料在创造使用价值中的作用。首先，人们用具体劳动在生产过程中创造了各种使用价值。一切使用价值都是“自然物质和劳动这两种要素的结合”。人们在从事生产劳动的过程中改变各种自然物质，形成不同的使用价值，以满足人们的不同需要。也就是说，在生产过程中，具体劳动必须利用生产资料对自然物质进行加工处理，才能创造出使用价值。同时，生产一定量的使用价值，需要投入的劳动力和生产资料数量是由生产过程的技术关系决定的，而不是由社会制度所决定的。因此，就生产的物质内容而言，（1.1）式和（1.2）式这两个生产函数所表达的生产使用价值的过程中投入和产出之间的关系具有一般性。

（二）考虑要素变化的一般形式的生产函数

简单的一般形式的生产函数没有对生产函数的具体形式加以限定，所以生产函数在实际应用中具有相当大的灵活性。但这种过于抽象和简化的生产函数没有考虑影响生产力基本要素的各种因素。事实上，很多因素都在影响着生产力的基本要素，使基本要素的投入量、质态组合、量态组合和时态组合发生变化。这些因素主要有：“工人的平均熟练程度，科学的发展水平和它在工艺上应用的程度，生产过程的社会结合，生产资料的规模和效能，以及自然条件。”这样，囊括上述因素的一般形式的生产函数为

式中r1（t）是对劳动者的熟练程度的度量，劳动者的熟练程度越高，生产等量的产品所需的活劳动就越少；r2（t）表述了生产资料的效能和自然条件的状况；r3为规模收益系数，说明生产规模改变对产量的影响；r4（t）说明生产过程的社会结合程度和经济组织效能的改善如何发挥生产要素的潜能，以提高产出效应。假定（1.3）式为具有连续的一阶和二阶偏导数的单值连续函数，在其定义域内是递增的非负函数；产出和利润都最大化时，该式被定义为严格的正则拟凹函数和严格的凹函数。在这些假定下分别考察上述各个因素对产出的影响如下。

1．规模收益系数r3

规模收益系数r3反映经济单位的生产规模改变对产量从而对收益的影响。当其他条件不变，且要素组合为一固定比例时，若各要素都以k倍扩张，则有Q=f（kL, kK）=Φ（k），规模收益系数为

如果r3=dQ/dk=C（常数），则规模收益不变，产量Q与要素的使用量同比例增加，存在固定的规模收益；当r3是K的递增函数时，产量增加的幅度大于要素投入的增长幅度，规模收益递增；而当r3是K的递减函数时，产量的增长幅度小于要素投入的增长幅度，规模收益递减。

当生产函数是齐次函数时，产量和经营规模K的依存关系十分简单，不论生产要素以何种比例组合，要素使用量按k倍增加都会导致产出按比率kr3倍增加：

当r3=1时，规模收益不变；r3＞1时，规模收益递增；r3＜1时，规模收益递减。

除了规模变动，即所有投入要素变动会引起产出变动外，某一种要素的变动也会引起产出的变动。当其他要素不变时，只有一种要素变动引起的产量变动可用边际产出MPi表示：

MPi=∂f/∂Xi

Xi代表任意一种要素的数量；某一种要素的平均产出为AP=f/Xi。

2．科技进步对产出的影响

科学技术在生产过程中的应用会提高劳动生产力，使单位产品所耗费的要素数量减少，因而使用既定数量的劳动力和生产资料能生产出更多的产品。（1.3）式中r1和r2反映了科技进步对各要素的直接影响，而r4则反映了科技进步对要素的间接影响。

首先分析r1对产出的影响。当其他条件不变时，（1.3）式可简化为Q=f（r1（t）L,K）。这说明科技进步提高了劳动者的生产能力，生产单位产品需耗费的活劳动减少了，或者说，科技进步的效果相当于劳动者的数量增加了r1（t）倍。这种人均劳动生产率的提高，还导致了投入生产过程的要素组合比例的改变，生产资料的边际产出和平均产出成正比例变化。类似的方法也可考察r2对产出的影响。当其他条件不变时，生产资料效能的提高对产出的影响可由（1.3）式的简化式表达：Q=f（L, r2（t）K）。它说明科技进步提高了生产资料的效率，使生产单位产品所需耗费的物化劳动量减少，同样的生产资料在活劳动的推动下能生产出比以前更多的产品。产品物耗的下降使投入生产过程的要素组合比例改变，这时劳动的边际产出和平均产出成正比例变化。一般地讲，科学技术在生产过程中的应用既能减少活劳动耗费，也能减少物化劳动耗费，通常要综合分析r1和r2对产出的影响。当r1和r2同方向同比例变动时，生产单位产品所耗费的活劳动和物化劳动同等幅度地减少，生产要素的组合比例不变，这时劳动力和生产资料的平均产出、边际产出都同等幅度地增加。若r1和r2不是同方向同比例地变动，则单位产品所耗费的活劳动量和物化劳动量以不同的幅度减少，生产要素组合比例也随之改变，因而劳动力和生产资料的平均产出、边际产出的变动幅度就会不同步。

组织因子r4是对生产过程的社会结合优化程度的度量。科技进步通过两条途径作用于生产过程：一是工艺水平的改进，直接改善了要素的素质和效能；二是管理水平的提高，优化了经济单位的组织结构从而间接地提高了要素的潜能，最终增加了产出。r4正是描述第二条途径，即在要素投入量不变的情况下，经济组织结构功能越完善，r4的数值就越大，由管理水平提高所带来的产出增加额就越多。所以，根据r4可以分析管理水平和产出量的关系。

（三）描述跃变生产过程的生产函数

上述分析都是假定生产过程具有连续性，生产函数也是连续的。连续的生产函数反映了渐进变化的生产过程。但是，实际生产过程不一定都是渐进变化的，一旦生产力出现跳跃式发展，生产过程就会出现突变。如产业革命、科技革命引起生产过程发生巨大的变化时就会出现这种态势。这时，反映突变生产过程的生产函数不再能满足连续性条件，对连续性生产函数所做的种种分析也就不再适合突变生产过程，因而也就需要运用突变论等现代科学方法来建立生产函数。

突变论方法是建立描述跃变生产过程的生产函数的理想方法。生产过程发生突变是由生产力内部基本要素和产出之间的投入产出关系发生急剧变化而引起的。生产过程中各种新的生产方法和管理方法的采用会引起投入产出关系的非连续性的跃变，使生产力发展发生飞跃，从而导致生产过程出现突变现象。由于生产过程中的突变现象的内在运动机理一般不易搞清楚，因而难以用通常的数学方法加以抽象描述。同时，它也不适宜用概率论等数学方法加以处理，因为生产过程中的突变现象是不可逆的，又不一定会大量地重复出现，特别是不可能在实验室中对生产过程的突变现象进行反复观察以摸索其统计规律。在对生产过程跃变问题的研究中，人们最关心的是生产过程可能在哪些临界点上产生突变。突变论方法擅长处理这种既不能了解全部运动过程，又要将注意力集中于突变临界现象的问题。突变论认为，各种不同系统的特性、运动机理一般是完全不同的，但可能有完全相同的突变机制。根据这一原理，只要将同投入要素有关的量看做控制变量，把产出看做实质性状态变量，就可以运用突变论中的初等突变模型模拟生产过程中的突变现象。

描述跃变生产过程的生产函数既要考虑科技进步对生产要素的直接影响，也要考虑科技进步对生产要素的间接影响，因为生产力的飞跃发展是由于科学技术在生产过程中的广泛应用和管理水平的提高而出现的。设科学技术在生产中的应用同步地提高各投入要素的质量和效能，科技进步对生产过程的这种直接影响用r1度量；r2是组织因子，表示结构功能改善对产出的影响。这样模型中的控制变量便有两个：一是要素的增长率v（r1），它表示增产数量为Q的产品所需投入的全部要素的增长率，在科技进步作用于生产过程时，v（r1）会为负；二是由管理水平提高或组织结构效能的改善而引致的产出增长率u（r2）。状态变量为产量Q，则描述突变过程的生产函数为

这是一个状态变量、两个控制变量的尖点突变模型。按照突变理论，该模型的分歧点集B为

8u3（r2）+27v2（r1）=0

随着科学技术在生产中的广泛运用，要素会出现负增长，即v（r1）＜0；而由组织因子r2决定的u（r2）越来越大，且为正值，即u（r2）＞0。在v＜0,u＞0的条件下，（1.6）式有三个互异的实根，即经济组织在生产过程中有三个平衡位置，其中两个是稳定平衡位置，一个是不稳定平衡位置。生产过程中的突变就发生在不稳定平衡位置的领域内，这个领域的范围由分歧点集B决定。当生产力的发展进入分歧点集时，生产力发展过程出现突变，否则生产力只是渐近地发展，不出现突变。

当各要素在科技进步的作用下不同步变化时，反映突变过程的生产函数为

其中控制变量有三个：u（r1）为劳动力增长率；w（r2）为生产资料增长率；v（r3）为管理水平提高而引致的产出增长。状态变量仍是产量Q。该模型是燕尾突变模型。同样，可以找出它的分歧集，分析它的突变特征。

（四）多产品生产函数

上述生产函数只反映了一种产品的生产过程，而现实社会经济是多种产品的生产过程，因此，还需建立反映多种产品生产过程的多部门生产函数。多产品生产过程有线性过程和非线性过程，相应地，生产函数也有线性生产函数和非线性生产函数。

1．多部门线性生产函数

当生产过程中的投入产出关系是线性的时，可运用投入产出模型来描述多部门多种产品的生产过程。其中，静态投入产出模型可以表述某一时期的生产过程；动态投入产出模型可以分析考虑时间因素的生产过程。

静态投入产出模型为

式中

其中Akk、Ak（n-k）、A（n-k）k和A（n-k）（n-k）是直接消耗阵A的分块矩阵，X1是产品向量，X2是生产资料向量，Y1、Y2为最终产品向量。该模型表明，n种产品中n-k种产品是生产资料，这些部门的产品还要投入再生产过程，而前k种产品不再投入生产过程。

在静态投入产出模型基础上引入时间滞后变量，就可以得到动态投入产出模型：

式中X（t）是产品向量，A是直接消耗阵，Y（t）是最终产品向量，B是投资系数向量。运用该模型能分析各部门间生产和投资、生产能力和生产规模扩大之间的动态变化关系。动态模型和静态模型不同，在动态模型中，最终产品向量Y（t）已不是一个完全由消耗系数阵A所决定的具有稳定性的数值向量，它可能随投资速度的变化而出现不同的结果：Y（t）可能出现振荡，也可能不出现振荡；随着时间的推移，振荡可能是阻尼的，也可能是非阻尼的，所以各部门生产会出现不同周期的变化。

2．多部门非线性生产函数

多部门非线性生产过程中要素间的关系比较复杂，有时不能以显函数而要用隐函数表达其投入产出关系。多部门非线性生产函数也可以分为两类：一是静态非线性生产函数；二是动态非线性生产函数。多部门非线性生产函数不仅能描述多部门生产过程中的丰富多彩的经济现象，而且能深刻地揭示多部门产品生产所固有的特征——自组织现象，即马克思曾指出的协作所创造的生产力。以下着重探讨这类生产函数。

动态非线性多产品生产过程可由协同学中的朗之力方程描述：

式中Qi是第i种产品的产量，经济社会共有n种产品，由方程组决定的内生变量Qi有n个；非生产性投入要素为h1,…, hm，共m种，它们是不由方程组决定的外生变量；Fi（t）是随机因素对第i种产品生产的影响。协同学中将全部内生变量分为两类：一类是阻尼大、衰减快的快弛豫变量，又叫快变量；另一类是临界小阻尼慢变量，又叫慢变量。因为慢变量描述了系统的有序程度，所以又称序参量。快变量和慢变量同时存在于一个系统中，相互联系又相互作用。在临界点附近，序参量役使或支配了快变量，这就是支配原理。依据支配原理，在临界点附近求解方程时可以把众多的快变量消去，只留下序参量，这种方法称为“绝热消去法”。根据支配原理，可以将方程中的变量分为两组：一组是Qp（p=1, …, m），是小阻尼慢变量；另一组是Qs（s=m+1, …, n），是大阻尼快变量。然后用绝热消去法求得Qs=Qs（Q1, …, Qm），即所有的快变量都以慢变量来表示，则（1.10）式可简化为

原来关于n个变量Qi的n个方程化简为只剩m个关于Qp的非线性方程。这m个变量就是整个生产系统的序参量，它们决定了整个生产系统的特征。序参量在系统中起主导作用，找到了序参量，就抓住了多产品生产过程的主要矛盾。序参量之间也存在突变论所分析的分叉现象。序参量既相互联系又相互竞争，在一定条件下，竞争的结果会改变各序参量在经济系统中的地位，导致生产过程出现突变。当经济系统通过突变，达到大量投入要素协同作用的相干状态即协作状态时，多部门生产过程就会出现自组织现象，整个生产系统便具有高度有序性。同线性多部门生产系统相比，投入同样多的要素，具有自组织功能的非线性生产系统的产量大大高于线性多部门生产系统。换言之，具有自组织功能的非线性生产系统的生产力远高于线性生产系统。正像马克思在分析资本主义协作时所指出的：“这里的问题不仅是通过协作提高了个人生产力，而且创造了一种生产力。”

一般形式的生产函数以抽象的数学模型概括了生产过程中具体劳动创造使用价值的过程。但是，生产商品的劳动不仅创造使用价值，而且形成价值，因此，还需分析价值形式的生产函数。