1.2.6　二阶锥规划

二阶锥规划（Second-Order Cone Programming，SOCP）的目标函数为线性表达式，约束包含二阶锥约束，是一种非常特殊的非线性优化模型。在给出其一般形式之前，我们需要了解一下什么是（凸）锥，什么是二阶锥。

·锥（Cone）：对于一个向量空间Rn与它的一个子集C，如果子集C中的任意一点x与任意正数α的积αx仍然属于子集C，则称C为一个锥。若C中任意两点x与y，以及任意两个正数α与β，都有αx+βy∈C，则C为凸锥。

·二阶锥（Second-order Cone）：以二范数定义的锥被称为二阶锥。在k维空间中，标准的二阶锥数学定义为式（1.5）。图1.2为三维空间中的二阶锥示意图。

需要说明的是，符号‖·‖2表示向量的二范数（L2 norm）。列向量x=［x1，x2，…，xn］T的二范数定义为：

形如式（1.6）的约束即为二阶锥约束（Second-order Cone Constraint）。

其中，A∈Rk×n，表示系数矩阵；x∈Rn×1，为列向量，是决策变量；b∈Rk×1，为列向量；c∈Rn×1，为列向量；d为常数。

二阶锥规划的一般形式［16］如下：

其中，f∈Rn×1，为列向量；x∈Rn×1，为列向量，表示连续型决策变量；；；ci∈Rn×1，为列向量；di∈R；F∈Rh×n，表示约束系数矩阵；g∈Rh×1，为列向量，表示右端常数。

当ci=0（∀i=1，…，m）时，SOCP可以等价转换为QCQP。当Ai=O（即零矩阵）（∀i=1，…，m）时，SOCP退化为LP。

下面给出两个二阶锥规划的简单例子。

【例1.1】

若表示成紧凑的矩阵形式，则

【例1.2】

若表示成紧凑的矩阵形式，则