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第1章　代数系统

1.1　代数

1.1.1　集合与映射

将所研究问题涉及的诸对象视为一个整体,称为集合,常用大写字母表示. 常见的由数组成的集合有自然数集、整数集、有理数集、实数集和复数集,分别记为、、、和. 组成集合的每一个对象,称为该集合的一个元素,常用小写字母表示. 若是集合中的元素,则记为,否则记为. 例如,但,但. 若集合中的元素均为集合中的元素,即,必有,称是的子集,记为. 例如,.

无任何元素的集合称为空集,记为. 如果非空集合中的元素可一一罗列出来，则可用花括号把这些罗列出来的元素括起来. 例如,不超过5的正整数组成的集合. 也可以用描述的方式表示一个具体的集合,例如,不超过5的正整数组成的集合可表示为.

常将集合直观地表示为平面上的封闭区域, 集合中的元素为区域内的点, 子集的图示如图1.1所示.

图1.1　子集的图示

实践中所面对的问题往往涉及两个甚至更多的集合. 集合的元素之间, 通常具有某种关系.

定义1.1　设为两个非空集合,若按确定的法则与之对应[1], 记为,则称为到的一个映射 (或变换),记为. 若,即,则称为上的映射.

[1]　数理逻辑中,存在量词表示 “至少存在一个……”. 本书用表示 “恰存在一个……”.

若,称是的像,是的原像.中元素的像,常记为.

例1.1　有限集合 (元素个数有限) 间的映射,可以列表表示. 设, 定义到的对应法则:

就是中元素对应相反数的映射.

练习1.1　设,即比特集,其中的元素0和1是二进制数. 用列表方式表示比特集上的映射.

(参考答案: )

非空集合的元素之间的对应法则要成为到的映射,需满足如下两个条件.

(1)中每个元素均有在中的像.

(2)中任一元素在中只有一个像.

图1.2(a)表示到的映射; 图1.2(b)中由于中存在元素在中无像,故对应法则不是到的映射; 图1.2(c)中由于中存在元素对应中的两个元素,故对应法则也不是到的映射.

图1.2　集合元素的对应法则

例1.2　设,考虑函数,不难理解它们均为上的映射. 然而,函数[见图1.3(a)]是上“1-1”的映射,即一个原像仅对应一个像. 反之,任一也仅有一个原像. 这样的映射是可逆的,因为据此对应法则,我们可以得到逆映射 (即反函数). 但是函数[见图1.3(b)]却不是可逆的. 这是因为, 首先对于且,在中没有与之对应的原像. 其次,对于且中有两个原像和与之对应. 换句话说,根据映射的对应法则,不能构造出其逆映射.

图1.3　可逆与不可逆函数

以上讨论的集合到的映射,原像均为取自集合的一个元素,这样的映射称为一元映射. 实践中,集合的结构也许要稍稍复杂一些.

定义1.2　设集合和非空,有序二元组集合称为与的笛卡儿积,记为.

在代数学中,非空集合上的映射称为一元运算,到的映射称为上的二元运算. 常用运算符来表示运算,如例1.1中,集合上的取相反数的映射即负数运算,这是一个一元运算,其运算符常表示为 “-”.,对应. 练习1.1中的上的一元映射即对比特位 (二进制位)的取反运算,这也是一个一元运算,其运算符常表示为 “”.,对应. 利用练习1.1的计算结果得比特集上的取反运算表为