1.2.3　域

定义1.5　若代数的二元运算和具有如下性质,则称为一个域.

(1)对于和构成一个环.

(2)的交换律:.

(3)的幺元律:称为幺元,使得.

(4)的逆元律:且称为的逆元,使得. 非零元素的逆元常记为.

例1.12　在例1.8的交换群的基础上添加上的与运算(参见例1.6),即在上有两个二元运算:

由例1.8得知,构成一个交换群.

由例1.6得知,上的与运算满足交换律和结合律,且1是其幺元. 根据运算表可知,中唯一的非零元素1的逆元是其本身. 最后构造真值表

根据观察,最后两列数据完全一致,可知与运算对异或运算具有分配律.

综上所述,构成一个域.

例1.13　根据域的定义,不难验证代数和都构成域,分别称为有理数域、实数域和复数域. 但是,在整数环中,任何非零元素对乘法运算没有逆元, 故不能构成域.

由域中 “乘法”的逆元律得知,对中的任一元素及非零元素,可进行“除法” 运算. 也就是说,在域中可以进行 “加” 减” “除” 除” “除? 四则运算. 这完全符合我们对有理数域、实数域及复数域的 认知.