1.1 数值计算方法

随着计算机的发展与普及，继理论分析和科学实验之后，在计算机上用数值方法进行科学计算已成为科学研究的另一种重要手段。求解各种数学问题的数值计算方法不仅在自然科学领域得到广泛的应用，而且还渗透到包括生命科学、经济科学和社会科学的许多领域。数值计算方法是应用数学的一个分支，又称数值分析或计算方法，它是研究用数字计算机求解各种数学问题的数值方法及其理论的一门学科，是程序设计和对数值结果进行分析的依据与基础。本书介绍的是在微积分、线性代数和常微分方程等基础数学中最常用的、行之有效的数值方法，内容包括非线性方程的数值解法、数值代数、代数插值、曲线拟合的最小二乘法、数值积分和微分、常微分方程初值问题的数值解法等。

应用计算机解决科学计算问题需要经过以下几个主要过程：提出实际问题、建立数学模型、选用或构造数值计算方法、程序设计和上机计算得出数值结果。因此，选用或构造数值计算方法是应用计算机进行科学计算全过程的一个重要环节。

数值计算方法是以数学问题为研究对象，但它不是研究数学本身的理论，而是着重研究数学问题求解的数值方法及其相关理论，包括误差分析、收敛性和稳定性等内容。它应具有以下特点：

1）把每个求解的数学问题用计算机所能直接处理的四则运算的有限形式的公式表达出来即构成数值方法。

2）每个数值方法要保证收敛性，数值方法的解（即数值解）能逼近精确解到要求的程度，还要保证数值稳定性。

3）数值方法有良好的计算复杂度，即运算次数要少，同时所需存储量要小。

将数学模型问题变成数值问题，进而研究求解数值问题的数值方法，并设计行之有效的数值算法，这些内容属于计算方法的范围。

数学问题可以通过离散化、逼近（包括插值、数值微积分等）转化成数值问题。数值问题是指输入数据（即问题中的自变量和原始数据）与输出数据之间函数关系的一个确定无歧义的描述。

在计算机上可执行的求解数值问题的系列计算公式称为数值方法。“计算机上可执行的系列计算公式”是指这一系列计算公式中的运算只有四则运算和逻辑运算等在计算机上能够执行的运算。

用计算机上可执行的系列计算公式求解数值问题，具有完整而准确步骤的方法称为数值算法。因此，数值方法是数值算法的核心。

对一个数学问题能有许多不同的数值算法，而用计算机求解各种数学问题的数值算法即是数值计算方法研究的内容。

在数值计算方法中，对许多问题常采用的处理方法有构造性方法、离散化方法、递推化方法、迭代方法、近似替代方法、化整为零方法和外推法等。本书将详细讨论这些方法。

由于数值计算方法研究的对象以及解决问题方法的广泛适用性，现在流行的数学工具软件，如Maple、MATLAB、Mathematica等，已将其绝大多数内容设计成简单函数，经简单调用，便可得到运行结果。但由于实际问题具体特性的复杂性以及算法自身的适用范围决定了应用中必须选择、设计适合自己所要解决的特定问题的算法，因而掌握数值计算方法的思想和内容是必不可少的。

手算是熟悉数值计算公式、掌握数值计算方法和计算过程的重要一环。尽管手算的例题都很简单，但是其计算过程和步骤与计算机按程序计算的过程和步骤一致，因此，应该充分重视这一环节。数值计算方法的目的是用计算机解决科学研究和工程实际中的数值计算问题，因此，在计算机上熟练地实现这些数值方法是必备的基本技能。同时，通过上机实际计算，可以对各种数值方法进一步深入地理解。因此，对手算和上机计算都应给予充分重视。