第2讲 数轴、相反数和绝对值
提分导练
提分点一 数轴上的点与数的对应关系
【例1】画出数轴，并用数轴上的点表示下列各数：
-2,0,1,-0.5,
.
分析：如下表：
解：如图2-1所示.
图2-1
【解题总结】根据已知数在数轴上标对应点，一般分三步：（1）画数轴；（2）确定点，并用实心小圆点描出；（3）标数，即在实心小圆点的上方标出所表示的数.
【易错警示】画数轴时，不要漏了原点和正方向.
【类题训练】
1．（期末·济南）如图2-2所示，点A表示的数可能是（ ）.
图2-2
A.-0.8
B.-1.2
C.-2.2
D.-2.8
2．如图2-3所示，在数轴上有四个点A，B，C，D，其中表示有理数-2.5的点是（ ）.
图2-3
A.A点
B.B点
C.C点
D.D点
提分点二 利用数轴解决实际问题
【例2】利用数轴解答：有一座三层楼房不幸起火，一位消防员搭梯子爬往三楼去救人.当他爬到梯子正中一级时，二楼窗口喷出火来，他就往下退了3级，等到火过去了，他又爬了7级，这时屋顶有砖掉下，他又往后退了2级，幸好没事，他又爬8级，这时他距离梯子最高层还有1级.问这个梯子共有几级？
分析：利用数轴，设梯子正中一级为原点，爬上为正，后退为负，在数轴上画出消防员的实际行走路线，E点即为消防员最后到达位置，而此时离梯子最高层还有一级，说明梯子从正中间一级开始向上为11级，向下也为11级，所以共有23级.
解：如图2-4所示，
图2-4
设梯子正中一级为原点，爬上为正，后退为负，那么消防员的实际行走路线为A→B→C→D→E，而E点对应为10，说明梯子从正中往上为11级，往下也为11级，加上正中一级，总共为23级.
【解题总结】把实际问题转化成数学模型，借助数轴，运用数形结合的思想方法解答.
【类题训练】
3．在一条笔直的东西走向的马路上，有少年宫、学校、超市、医院四家公共场所.已知少年宫在学校东300m，超市在学校西200m，医院在学校东500m.
（1）你能利用所学过的数轴知识描述它们的位置吗？
（2）小明放学后要去医院看望生病住院的奶奶，他从学校出发向西走了200m，又向东走了700m，你说他能到医院吗？
提分点三 利用绝对值解决实际问题
【例3】检测足球时，超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数.从轻重的角度看，在下面各球中最接近标准的球是（ ）.
分析：绝对值最小的即为最接近标准的足球.|-0.8|＜|+0.9|＜|+2.5|＜|-3.6|.故选C.
【解题总结】解决这类问题要正确理解题意，正确比较绝对值的大小即可求解.
【类题训练】
4．检测4个排球，其中超过标准质量的克数记为正数，低于标准质量的克数记为负数.从轻重的角度来看，在下面各球中最接近标准的球是（ ）.
提分点四 相反数，绝对值与数轴相结合的问题
【例4】如图2-5所示，图中数轴的单位长度为1.请回答下列问题：
（1）如果点A，B表示的数是互为相反数，那么点C表示的数是多少？
（2）如果点D，B表示的数是互为相反数，那么点C表示的数是正数还是负数？图中表示的5个点中，哪一个点表示的数的绝对值最小，最小的绝对值是多少？
图2-5
分析：根据相反数的概念，互为相反数的两个数到原点的距离相等，确定原点求解即可.
解：（1）因为点A，B表示的数是互为相反数，原点就应该是线段AB的中点，即在C点右边一格，C点表示数“-1”；（2）如果点D，B表示的数是互为相反数，那么原点在线段BD的中点，即C点左边半格，点C表示的数是正数；点C表示的数的绝对值最小，最小的绝对值是0.5.
【解题总结】解决这类问题的关键是读懂题目要求，弄清楚数轴上点的移动和数的大小变化规律，正确运用数形结合思想解答.
【类题训练】
5．（期末·沧州）如图2-6所示，在数轴上有四个点A，B，C，D，其中表示-2的相反数的点是（ ）.
图2-6
A.点A
B.点B
C.点C
D.点D
6．如图2-7所示，单位长度为1，如果点A，C表示的数的绝对值相等，则点B表示的数是（ ）.
图2-7
A.1
B.-1
C.2
D.-2
7．如图2-8所示，单位长度为1，点A， B表示的数是互为相反数，则点C所表示的数为（ ）.
图2-8
A.2
B.-4
C.-1
D.0
提分点五 比较有理数的大小
【例4】（期中·泰安）如图2-9所示，数轴上的点A，B，C，D表示的数分别是：-1.5，-3，2，3.5.
图2-9
（1）将点A，B，C，D表示的数按从小到大的顺序用“＜”号连接起来；
（2）若将原点改在点C，则点A，B，C， D所对应的数分别为多少？将这些数按从小到大的顺序用“＜”号连接起来；
（3）改变原点位置后，点A，B，C，D所表示的数大小顺序改变了吗？这说明了数轴的什么性质？
分析：（1）将点A，B，C，D表示的数按左小右大的顺序，用“＜”号连接起来即可；（2）将原点改在C点时，各点对应的数都小2，由此找出点A，B，C， D所对应的数，用“＜”号连接起来即可；（3）根据（2）易得出答案.
解：（1）-3＜-1.5＜2＜3.5；
(2)-3.5,-5,0,1.5;
-5＜-3.5＜0＜1.5;
（3）没有改变；这说明了数轴上的点所表示的数，右边的数总比左边的数大.
【解题总结】解决这类问题要把“数”和“形”结合起来，仔细观察，认真分析其中蕴含的规律.
【类题训练】
8．比较-3，1，-2的大小，下列判断正确的是（ ）.
A.-3＜-2＜1
B.-2＜-3＜1
C.1＜-2＜-3
D.1＜-3＜-2
9．画一条数轴，然后在数轴上画出表示下列各数的点，并比较大小.
,2,3,-2.7,
,-3,0.
提分检测
1．（期中·大连）如图2-10所示，在数轴上四个点所表示的有理数中，比
小的数的点是（ ）.
图2-10
A.点A
B.点B
C.点C
D.点D
2．下列各对数中，互为相反数的是（ ）.
A.-（-3）和+3
B.+（-5）和-（+5）
C.-（-6）和+（+6）
D.2和+（-2）
3．（中考·娄底）已知点M，N，P，Q在数轴上的位置如图2-11所示，则其中对应的数的绝对值最大的点是（ ）.
图2-11
A.M
B.N
C.P
D.Q
4．（中考·福州）A，B是数轴上的两点，在下列四个选项中，点A，B所表示的数互为相反数的是（ ）.
5．（期末·北京）图2-12是地铁昌平线路图.在图中，以正东为正方向建立数轴，有如下四个结论：
图2-12
①当表示昌平东关站的点对应的数为0，表示昌平站的点对应的数为-1.5时，表示北邵洼站的点对应的数为1.2；
②当表示昌平东关站的点对应的数为0，表示昌平站的点对应的数为-15时，表示北邵洼站的点对应的数为12；
③当表示昌平东关站的点对应的数为1，表示昌平站的点对应的数为-14时，表示北邵洼站的点对应的数为13；
④当表示昌平东关站的点对应的数为2，表示昌平站的点对应的数为-28时，表示北邵洼站的点对应的数为26.
在上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）.
A.①②③
B.②③④
C.①④
D.①②③④
6．（期中·厦门）数轴上表示整数的点称为“整点”.某数轴的单位长度是1cm，若在这个数轴上随意画出一条长为2019cm的线段AB，则线段AB盖住的整点的个数是（ ）.
A.2017或2018
B.2018或2019
C.2019或2020
D.2020或2021
7．（模考·黄冈）如图2-13所示，有一个半径为
个单位长度的圆片，将圆片上的点A放在原点，并把圆片沿数轴逆时针滚动一周，点A到达点A′的位置，则点A′表示的数是________；若点B表示的数是-3.14，则点B在点A′的________（填“左边”“右边”或“重合”）.
图2-13
8．李老师不小心把墨水洒在了如图2-14所示的数轴上.请同学们帮助他把这条数轴补充完整，并在补好的数轴上标出你喜欢的一个正整数，一个负整数，一个负分数.
图2-14
9．如图2-15所示，数轴的单位长度为1，且数轴上各相邻点之间的距离均为1.
图2-15
（1）如果点B与点F表示的数互为相反数，那么点D表示的数是什么？
（2）如果点D与点H表示的数互为相反数，那么点C表示的数是什么？
10．如图2-16所示，在数轴上有三个点A，B，C，请回答：
图2-16
（1）将点B向左移动3个单位后，三个点所表示的数谁最小？是多少？
（2）将点A向右移动4个单位后，三个点所表示的数谁最小？是多少？
（3）将点C向左移动6个单位后，这时点B表示的数比点C表示的数大多少？
（4）怎样移动点A，B，C中的两个点，才能使三个点表示的数相同？有几种移动的方法？
高分必练
1．（竞赛·希望杯）如图2-17所示，在数轴上的六个点满足AB=BC=CD=DE=EF，则在点B，C，D，E对应的数中，最接近-10的点是（ ）.
图2-17
A.点B
B.点C
C.点D
D.点E
2．（自招·芜湖）小明做题时，画了一个数轴，在数轴上原有一个点A，其表示的数是-3，由于粗心，小明把数轴的原点标错了位置，使点A正好落在了-3的相反数的位置.想想，要把数轴画正确，原点要向哪个方向移动几个单位长度？（ ）.
A.向右移6个单位长度
B.向右移3个单位长度
C.向左移6个单位长度
D.向左移3个单位长度
3．（自招·临汾）已知数轴上有A，B两点，它们的距离为2，点A与原点O的距离为3，那么所有满足条件的点B与原点O的距离和等于________.
4．如图2-18所示，在数轴上有两个点A， B，回答下列问题：
图2-18
（1）将点A向左平移
个单位后，表示的数是多少？
（2）将点B向右平移3个单位后，表示的数是多少？
（3）点B做怎样的平移得到的数与点A表示的数互为相反数？
（4）如果把上图中的数轴的原点移到点B，那么在新的数轴中，点A表示的数是多少？
（5）怎样移动才能使点A表示的数永远都大于点B表示的数？