3.3　课后习题详解

1．已知一件衬衫的价格为80元，一份肯德基快餐的价格为20元，在某消费者关于这两种商品的效用最大化的均衡点上，一份肯德基快餐对衬衫的边际替代率是多少？

解：按照两商品的边际替代率的定义公式，可以将一份肯德基快餐对衬衫的边际替代率写成：

其中，表示肯德基快餐的份数；表示衬衫的件数；表示在维持效用水平不变的前提下，消费者增加一份肯德基快餐消费时所需要放弃的衬衫的消费数量。

在该消费者实现关于这两种商品的效用最大化时，在均衡点上有：

即有：

它表明，在效用最大化的均衡点上，对于该消费者来说，一份肯德基快餐对衬衫的边际替代率为0.25。

2.假设某消费者的均衡如图3-4所示。其中，横轴和纵轴分别表示商品1和商品2的数量，线段为消费者的预算线，曲线为消费者的无差异曲线，点为效用最大化的均衡点。已知商品1的价格元。

图3-4  消费者效用最大化

（1）求消费者的收入；

（2）求商品2的价格；

（3）写出预算线方程；

（4）求预算线的斜率；

（5）求点的的值。

解：（1）图3-4中的横截距表示消费者的收入全部购买商品1的数量为30单位，且已知元，所以消费者的收入元。

（2）图3-4中的纵截距表示消费者的收入全部购买商品2的数量为20单位，且由（1）已知收入元，所以商品2的价格元。

（3）由于预算线方程的一般形式为：

所以，由（1）、（2）可将预算线方程具体写为：。

（4）将（3）中的预算线方程进一步整理为，显然，预算线的斜率为。

（5）在消费者效用最大化的均衡点上，有，即无差异曲线的斜率的绝对值即等于预算线斜率的绝对值。因此，在点， 。

3．请画出以下各位消费者对两种商品（咖啡和热茶）的无差异曲线，同时请对（2）和（3）分别写出消费者B和消费者C的效用函数。

（1）消费者A喜欢喝咖啡，但对喝热茶无所谓。他总是喜欢有更多杯的咖啡，而从不在意有多少杯的热茶。

（2）消费者B喜欢一杯咖啡和一杯热茶一起喝，他从来不喜欢单独只喝咖啡，或者单独只喝热茶。

（3）消费者C认为，在任何情况下，1杯咖啡和2杯热茶是无差异的。

（4）消费者D喜欢喝热茶，但不喜欢喝咖啡。

答：（1）根据题意，对消费者A而言，热茶是中性商品，因此，热茶的消费数量不会影响消费者A的效用水平。消费者A的无差异曲线如图3-5（a）所示。图3-5中的箭头均表示效用水平增加的方向。

（2）根据题意，对消费者B而言，咖啡和热茶是完全互补品，其效用函数是。消费者B的无差异曲线如图3-5（b）所示。

（3）根据题意，对消费者C而言，咖啡和热茶是完全替代品，其效用函数是。消费者C的无差异曲线如图3-5（c）所示。

（4）根据题意，对消费者D而言，咖啡是厌恶品。消费者D的无差异曲线如图3-5（d）所示。

图3-5  关于咖啡和热茶的不同消费者的无差异曲线

4．对消费者实行补助有两种方法：一种是发给消费者一定数量的实物补助，另一种是发给消费者一笔现金补助，这笔现金额等于按实物补助折算的货币量。试用无差异曲线分析法，说明哪一种补助方法能给消费者带来更大的效用。

答：相对而言，发放现金补助的方法能给消费者带来更大的效用。分析如下：

发放现金补助，消费者可根据自己的偏好选择自己需要的商品，而发放一定数量的实物补助，则可能此实物不是消费者所需要或最需要的，这时，消费者就难以得到最大的满足了。分析如图3-6所示。在图3-6中，线代表实物和其他商品的价格一定时，发放一笔现金补助所形成的预算线。如发实物，该消费者最佳消费点为点，消费数量的实物和数量的其他商品，所获效用为；如发放现金补助让消费者根据偏好自由选购，该消费者最佳消费点为点，消费数量的实物和数量的其他商品，所获效用为。可以看出，，即用发放现金补助的方法能给消费者带来更大的效用。

图3-6  实物补助与现金补助

5．已知某消费者每年用于商品1和商品2的收入为540元，两商品的价格分别为元和元，该消费者的效用函数为，该消费者每年购买这两种商品的数量应各是多少？每年从中获得的总效用是多少？

解：（1）据题意有：，，，

根据消费者效用最大化的均衡条件：

其中，由可得：

于是有：

整理得：

　 ①

将①式代入预算约束式，即：

解得：，

因此，该消费者每年购买和这两种商品的数量分别为9和12。

（2）将以上最优的商品组合代入效用函数，得：

即该消费者最优商品购买组合给他带来的最大效用水平为3888。

6．假设某商品市场上只有A、B两个消费者，他们的需求函数各自为和。

（1）列出这两个消费者的需求表和市场需求表。

（2）根据（1），画出这两个消费者的需求曲线和市场需求曲线。

答：（1）由消费者A的需求函数，可编制消费者A的需求表；由消费者B的需求函数，可编制消费者B的需求表。至于市场需求表的编制可以使用两种方法，一种方法是利用已得到消费者A、B的需求表，将每一价格水平上两个消费者的需求数量加总来编制市场需求表；另一种方法是先将消费者A和B的需求函数加总来求得市场需求函数，即市场需求函数，然后，运用所得到的市场需求函数（），来编制市场需求表。这两种方法所得到的市场需求表是相同的。

按以上方法编制的三张需求表如下所示。

表3-3  消费者A的需求表

表3-4  消费者B的需求表

表3-5  市场的需求表

（2）由（1）中的三张需求表，所画出的消费者A和B各自的需求曲线以及市场的需求曲线如图3-7所示。

图3-7  从单个消费者的需求曲线到市场需求曲线

需要特别指出的是，市场需求曲线有一个折点，该点发生在价格和需求量的坐标点位置。对于市场需求曲线的这一特征，可以从两个角度来解释：一个角度是从图形来理解，市场需求曲线是市场上单个消费者需求曲线的水平加总，即在的范围，市场需求曲线由两个消费者需求曲线水平加总得到；而当时，只有消费者B的需求曲线发生作用，所以，它的需求曲线就是市场需求曲线。另一个角度是从需求函数看，在的范围，市场需求函数成立；而当时，只有消费者B的需求函数才构成市场需求函数，即。

7．假定某消费者的效用函数为，两商品的价格分别为、，消费者的收入为。分别求该消费者关于商品1和商品2的需求函数。

解：建立拉格朗日函数：。

效用最大化的一阶条件为：

由上式联立可得：，。

此分别为商品1和商品2的需求函数。

8．令某消费者的收入为，两商品的价格为、。假定该消费者的无差异曲线是线性的，且斜率为。求该消费者的最优商品消费组合。

解：据题意，可知预算方程为：，预算线斜率为。

由于无差异曲线是直线，且斜率为，所以无差异曲线斜率的绝对值为：

所以，该消费者的最优商品消费组合为：

（1）当时，边角解是预算线与横轴的交点，如图3-8（a）所示。

这时，由预算方程得：

即最优商品组合为（，0）。

（2）当时，边角解是预算线与纵轴的交点，如图3-8（b）所示。

这时，

由预算方程得：

即最优商品组合为（0，）。

（3）当时，无差异曲线与预算线重叠，预算线上各点都是最优商品组合点，如图3-8（c）所示。

图3-8  最优商品组合

9．假定某消费者的效用函数为，其中，为某商品的消费量，为收入。求：

（1）该消费者的需求函数。

（2）该消费者的反需求函数。

（3）当，时的消费者剩余。

解：（1）由题意可得，商品的边际效用为：

货币的边际效用为：

于是，根据消费者效用最大化条件，有：

整理得需求函数为。

（2）由需求函数可得反需求函数为：

（3）由反需求函数可得消费者剩余为：

将和代入上式，则得消费者剩余：

10．设某消费者的效用函数为柯布-道格拉斯类型的，即，商品和商品的价格分别为和，消费者的收入为，和为常数，且。

（1）求该消费者关于商品和商品的需求函数。

（2）证明当商品和的价格以及消费者的收入同时变动一个比例时，消费者对两商品的需求关系维持不变。

（3）证明消费者效用函数中的参数和分别为商品和商品的消费支出占消费者收入的份额。

解：（1）由消费者的效用函数，可得：

消费者的预算约束方程为

　 ①

根据消费者效用最大化条件：

　  　②

得：

  　 ③

解方程组③，可得：

　 ④

 ⑤

关系式④和⑤即为消费者关于商品和商品的需求函数，其图形如图3-9所示。

图3-9  商品和商品的需求曲线

（2）当商品和的价格以及消费者的收入同时变动一个比例时，相当于消费者的预算线变为：

  　 ⑥

其中，为一非零常数。

此时消费者效用最大化的均衡条件变为：

　  　 ⑦

由于，故方程组⑦化为：

  　 ⑧

显然，方程组⑧就是方程组③，故其解就是式④和式⑤。

这表明，消费者在这种情况下对两商品的需求关系维持不变。

（3）由消费者的需求函数④和⑤，可得：

 ⑨

　  　⑩

关系式⑨的右边正是商品的消费支出占消费者收入的份额。关系式⑩的右边正是商品的消费支出占消费者收入的份额，故结论被证实。

11．假定肉肠和面包卷是完全互补品。人们通常以一根肉肠和一个面包卷为比率做一个热狗，并且已知一根肉肠的价格等于一个面包卷的价格。

（1）求肉肠的需求价格弹性。

（2）求面包卷对肉肠的需求交叉弹性。

（3）如果肉肠的价格是面包卷的价格的两倍，那么，肉肠的需求价格弹性和面包卷对肉肠的需求交叉弹性各是多少？

解：假设肉肠的需求量为，面包卷的需求量为，二者的价格分别为、。

（1）由于假定肉肠和面包卷为完全互补品，则有，根据，有。假定消费者在肉肠和面包卷，即热狗上的消费总额为，则，可以解得肉肠的需求函数为。

肉肠的需求价格弹性。

（2）根据（1）易知，则面包卷对肉肠的需求交叉弹性为：

（3）如果，，将其代入，可以解得，。

肉肠的需求价格弹性。

面包卷对肉肠的需求交叉弹性。

12．已知某消费者的效用函数为，两商品的价格分别为，，消费者的收入是。现在假定商品1的价格下降为。求：

（1）由商品1的价格下降所导致的总效应，使得该消费者对商品1的购买量发生多少变化？

（2）由商品1的价格下降所导致的替代效应，使得该消费者对商品1的购买量发生多少变化？

（3）由商品1的价格下降所导致的收入效应，使得该消费者对商品1的购买量发生多少变化？

解：（1）消费者效用最大化的问题是：

当，时，可得出最优消费束为（，）=，此时消费者的效用水平为：。

当下降到2元时，可得出此时最优消费束为（，）=（20，20），此时消费者的效用水平为：。

所以，当从4元下降到2元时，消费者对商品1的购买量从10增加到20，增加了10个单位。

（2）下面在保持原来效用不变的情况下，在新的价格水平下，求出的需求量。此时，最优化问题是：

可得出当时，达到了原有的效用水平，且为经过调整后的最优消费束。

所以，价格下降的替代效应使的购买量变化为。即由商品1的价格下降所导致的替代效应，使得该消费者对商品1的购买量增加4.14。

（3）由于价格下降的总的变化效应为，替代效应使得购买量变化为，所以收入效应为。即由商品1的价格下降所导致的收入效应，使得该消费者对商品1的购买量增加5.86。

13．某消费者是一个风险回避者，他面临是否参与一场赌博的选择：如果他参与这场赌博，他将以5％的概率获得10000元，以95％的概率获得10元；如果他不参与这场赌博，他将拥有509.5元。那么，他会参与这场赌博吗？为什么？

解：该消费者不会选择赌博。分析如下：

该消费者现在在无风险条件下（即不赌博条件下）可以持有的确定的货币财富是509.5元。在风险条件下即参与赌博时，该消费者财富的期望值为：

该消费者财富的期望值与持有的确定的货币财富一样。由于该消费者是风险回避者，他认为持有一笔确定的货币财富的效用大于在风险条件下赌博的期望效用，因而他不会选择赌博。

14．基数效用论者是如何推导需求曲线的？

答：基数效用论者以边际效用递减规律和建立在该规律上的消费者效用最大化的均衡条件为基础推导消费者的需求曲线。

基数效用论者认为，商品的需求价格取决于商品的边际效用。一单位的某种商品的边际效用越大，消费者为购买这一单位的该种商品所愿意支付的价格就越高；反之，一单位的某种商品的边际效用越小，消费者为购买这一单位的该种商品所愿意支付的价格就越低。由于边际效用递减规律的作用，随着消费者对某一种商品消费量的连续增加，该商品的边际效用是递减的，相应地，消费者为购买这种商品所愿意支付的价格即需求价格也是越来越低的。

进一步地，联系消费者效用最大化的条件进行分析，考虑消费者购买任何一种商品的情况，那么，消费者均衡条件可以写为：。它表示：消费者对任何一种商品的最优购买量应该是使最后一元钱购买该商品所带来的边际效用和所付出的这一元钱的货币的边际效用相等。该式还意味着：由于对于任何一种商品来说，随着需求量的不断增加，边际效用是递减的，于是，为了保证均衡条件的实现，在货币的边际效用不变的前提下，商品的需求价格必然同比例于的递减而递减。

就这样，基数效用论者在对消费者行为的分析中，运用边际效用递减规律的假定和消费者效用最大化的均衡条件，推导出了消费者的向右下方倾斜的需求曲线。

15．用图说明序数效用论者对消费者均衡条件的分析，以及在此基础上对需求曲线的推导。

答：（1）序数效用论消费者均衡条件是：在一定的预算约束下，为了实现最大的效用，消费者应该选择最优的商品组合，使得两商品的边际替代率等于两商品的价格之比。或者说，在消费者的均衡点上，消费者愿意用一单位的某种商品去交换的另一种商品的数量，应该等于该消费者能够在市场上用一单位的这种商品去交换得到的另一种商品的数量。

图3-10  消费者的均衡

如图3-10所示，把无差异曲线与预算线放在一块进行分析。图3-10中有一条预算线和三条反映不同效用程度的无差异曲线。只有预算线和无差异曲线的相切点，才是消费者在给定的预算约束下能够获得最大效用的均衡点。这是因为：①就无差异曲线来说，虽然代表的效用水平高于无差异曲线，但它与既定的预算线既无交点又无切点，说明消费者在既定的收入水平下无法实现无差异曲线上的任何一点的商品组合的购买。②就无差异曲线来说，虽然它与既定的预算线相交于两点，这表明消费者利用现有收入可以购买两点的商品组合。但是，这两点的效用水平低于无差异曲线，因此，理性的消费者不会用全部收入去购买无差异曲线上两点的商品组合。消费者选择线段上位于点右边或点左边的任何一点的商品组合，都可以达到比更高的无差异曲线，获得比点和点更大的效用水平。这种沿着线段由点往右和由点往左的运动，最后必定在点达到均衡。显然，只有当既定的预算线和无差异曲线相切于点时，消费者才在既定的预算约束条件下获得最大的满足，故点就是消费者实现效用最大化的均衡点。在切点，无差异曲线和预算线两者的斜率是相等的，无差异曲线斜率的绝对值就是商品的边际替代率，预算线的斜率的绝对值可以用两商品的价格之比来表示。由此，在均衡点有：，这就是消费者效用最大化的均衡条件。它表示：在一定的预算约束下，为了实现最大的效用，消费者应该选择最优的商品组合，使得两商品的边际替代率等于两商品的价格之比。

（2）推导消费者的需求曲线：

图3-11  由价格—消费曲线推导出消费者的需求曲线

分析图3-11（a）中价格—消费曲线上的三个均衡点、和可以看出，在每一个均衡点上，都存在着商品1的价格与商品1的需求量之间一一对应的关系。在均衡点，商品1的价格为，商品1的需求量为。在均衡点，商品1的价格由下降到，则商品1的需求量由增加到。在均衡点，商品1的价格由下降到，则商品1的需求量由增加到。把每一个数值和相应的均衡点上的数值绘制在商品的价格—数量坐标图上，便可以得到单个消费者的需求曲线。这便是图3-11（b）中的需求曲线。

在图3-11（b）中，横轴表示商品1的数量，纵轴表示商品1的价格。图3-11（b）中需求曲线上的、、点分别和图3-11（a）中的价格—消费曲线上的均衡点、、相对应。至此，从序数效用论者对消费者经济行为的分析中推导出了消费者的需求曲线。由图3-11可见，序数效用论者所推导的需求曲线是向右下方倾斜的，它表示商品的价格和需求量成反方向变动关系。

16．分别用图分析正常品、劣等品和吉芬品的替代效应和收入效应，并进一步说明这三类物品的需求曲线的特征。

答：（1）正常品的替代效应和收入效应

图3-12  正常品的替代效应和收入效应

如图3-12所示，横轴和纵轴分别表示商品1和商品2的数量，其中，商品1是正常品。是价格变化前消费者对商品1的需求量。商品1的价格下降后，商品需求量增加到。商品1需求量的增加量为，这便是商品1的价格下降所引起的总效应。

如果作一补偿线，使该线与价格变化后的预算线平行，并与价格变化前的无差异曲线相切，则切点处对应的对商品1的需求量就是在商品价格变化后，剔除了收入效应的消费量。因此，就是商品1价格下降后的替代效应，就是商品1价格下降后的收入效应。

可以看出，对于正常品来说，替代效应与价格成反方向的变动，收入效应也与价格成反方向的变动，在它们的共同作用下，总效应必定与价格成反方向的变动。正因为如此，正常品的需求曲线是向右下方倾斜的。

（2）劣等品的替代效应和收入效应

图3-13  劣等品的替代效应和收入效应

如图3-13所示，横轴和分别表示商品1和商品2的数量，其中，商品1是劣等品。商品1的价格下降前后，消费者的效用最大化的均衡点分别为、点，因此，价格下降所引起的商品1的需求量的增加量为，这是总效应。作与预算线平行且与无差异曲线相切的补偿预算线，将总效应分解成替代效应和收入效应。下降引起的商品相对价格的变化，使消费者由均衡点运动到均衡点，相应的需求增加量为，这就是替代效应，它是一个正值。而下降引起的消费者的实际收入水平的变动，使消费者由均衡点运动到均衡点，需求量由减少到，这就是收入效应，它是一个负值。

对劣等品来说，替代效应与价格成反方向的变动，收入效应与价格成同方向的变动，而且，在大多数的场合，收入效应的作用小于替代效应的作用，总效应与价格成反方向的变动，相应的需求曲线是向右下方倾斜的。

（3）吉芬品的替代效应和收入效应

图3-14  吉芬品的替代效应和收入效应

如图3-14所示，横轴和纵轴分别表示商品1和商品2的数量，其中，商品1是吉芬品。商品1的价格下降前后，消费者的效用最大化的均衡点分别为点和点，相应的商品1的需求量的减少量为，这就是总效应。通过补偿预算线可得：为替代效应；是收入效应，它是一个负值。而且，负的收入效应的绝对值大于正的替代效应的绝对值，所以，最后形成的总效应为负值。在图3-14中，点必定落在、两点之间。

对吉芬品来说，替代效应与价格成反方向变动，收入效应与价格成同方向变动，但收入效应的作用大于替代效应的作用，总效应与价格是同方向变动，相应的需求曲线就呈现向右上方倾斜的特殊形状。