3.2　课后习题详解

3.1　设A与B为厄米算符，则和也是厄米算符，由此证明：任何一个算符F均可分解为

　

F_＋与F_－均为厄米算符．

证明：因为

即和均为厄米算符

而F_＋与F_－显然均为厄米算符．

3.2　已知粒子的坐标r和动量p为厄米算符，判断下列算符是否为厄米算符：如果不是，试构造相应的厄米算符．

解：对于l＝r×P，有

同理

所以是厄米算符，

对于r·P，有

所以r·P不是厄米算符，而

相应的厄米算符为

类似有，本身非厄米算符，但可以构造相应的厄米算符如下：

，本身也非厄米算符，但可以构造相应的厄米算符如下：

3.3　设F（x，p）是x和p的整函数，证明

整函数是指F（x，p）可以展开成．

证明：利用

类似可证明

3.4　定义反对易式，证明

证明：

所以

类似

所以

3.5　设A、B、C为矢量算符，A和B的标积和矢积定义为

α、β、γ分别取为为Levi－Civita符号，试验证

【证明见《量子力学习题精选与剖析》[上]，4.1题】

4.1　设A、B、C为矢量算符，其直角坐标系分量为

A＝（A_x，A_y，A_z）＝（A₁，A₂，A₃）

等等，A、B的标积和矢积定义为

等等，试验证下列各式：

A·（B×C）＝（A×B）·C  （3）

[A×（B×C）]_α＝A·（B_αF）－（A·B）C_α  （4）

[（A×B）×C]_α＝A·（B_αC）－A_α（B·C）  （5）

证明：式（3）左端写成分量形式，为

其中ε_αβγ为Levi—CiVita符号，即

ε₁₂₃＝ε₂₃₁＝ε₃₁₂＝1

  ε₁₃₂＝ε₂₁₃＝ε₃₂₁＝－1　  （6）

ε_αβγ＝α、β、γ中有两个或三个相同

式（3）右端也可化成

故得

验证式（4），以第一分量为例，左端为

[A×（B×C）]₁＝A₂（B×C）₃ A₃（B×C）₂

　  ＝A₂（B₁C₂－B₂C₁）－A₃（B₃C₁－B₁C₃）

  　＝A₂B₁C₂＋A₃B₁C₃－（A₂B₂＋A₃8₃）C₁  （8）

而式（4）右端第一分量为

A（B₁C）－（A·B）C₁＝A₁B₁C₁＋A₂B₁C₂＋A₃b₁C₃－（A₁B₁＋A₂B₂＋A₃B₃）C₁

　 ＝A₂B₁C₂＋A₃B₁C₃－（A₂B₂＋A₃B₃）C₁

和式（8）相等，故式（4）成立．

同样可以验证式（5）．式（4）和（5）有时写成下列矢量形式：

A与C间联线表示A和C取标积．（但是B的位置在A、C之间）如果A、B、C互相对易，上二式就可写成

A×（B×C）＝（A·C）B－（A·B）C

（A×B）×C＝（A·C）B－A（B·C）

这正是经典物理中的三重矢积公式．

3.6　设A与B为矢量算符，F为标量算符，证明

【证明见《量子力学习题精选与剖析》[上]，4.2题】

4.2　设A、B为矢量算符，F为标量算符，证明

[F，A·B]＝[F，A]·B＋A·[F，B]　 （1）

[F，A×B]＝[F，A]×B＋A×[F，B]  （2）

证明：式（1）右端等于

（FA－AF）·B＋A·（FB－BF）＝FA·B－A·BF＝[F，A·B]

这正是式（1）左端，故式（1）成立．同样可以证明式（2）．

3.7　设F是由r与p的整函数算符，证明

【证明见《量子力学习题精选与剖析》[上]，4.3题】

4.3　以，r、表示位置和动量算符，为轨道角动量算符，为由r、构成的标量算符．证明

证明：利用对易式

以及题4.2式（2），即得

此即式（1）。

3.8　证明

【证明见《量子力学习题精选与剖析》[上]，4.6题】

4.6　证明

证明：

（P×l＋l×p）_x＝p_yl_z－p_zl_y＋l_yp_z－l_zp_y，

＝[P_y，l_z]＋[l_y，p_z]

利用基本对易式

即得

因此

其次，由于p_x和l_x对易，所以

因此

3.9　计算

解：利用代数恒等式可得

3.10　定义径向动量算符

证明：

（a）

（b）

（c）

（d）

（e）

【证明见《量子力学习题精选与剖析》[上]，4.5题】

4.5　定义径向动量算符

试求其球坐标表达式，并求及．

解：在经典力学中，径向动量就是动量的径向投影，定义为

过渡到量子力学，动量算符为

由于和r／r不对易，为了保证径向动量算符是Hermite算符，应取

此即式（1）．利用式（3），易得

　 （4）

此即的球坐标表达式．

利用式（4），容易算出

3.11　利用不确定度关系估算谐振子的基态能量

解：由于一维谐振子势具有对坐标原点的反射对称性，有

因而

所以在能量本征态下

按不确定度关系

所以

它取极小值的条件为

由此得出

用此值代入（3）式，可知

所以谐振子基态能量

3.12　证明在离散的能量本征态下动量平均值为零．

证明：体系的Hamilton量为

即

对于束缚态，能量本征值是离散的，本征波函数ψ满足并且可以归一化，所以

3.13　证明力学量x与F（px）的不确定度关系以Hamilton量为例，结合3.12题进行讨论

证明：按《量子力学教程》3.3节，不确定度关系（8），并利用（参见3.3题）

可以得出

3.14　证明在lx的本征态下

证明：假设ψ_m是l_z的本征态，相应的本征值是，根据角动量的对易关系，可得

类似，利用可以证明

3.15　设粒子处于状态下，求

解：是l²及l_x的本征函数，即

按3.14题，，所以

其次证明利用

所以

再利用，可得

所以

3.16　设体系处于状态（已归一化，即

（a）l_z的可能测值及平均值；

（b）l²的可能测值及相应的概率；

（c）l_x的可能测值及相应的概率；

解：Y₁₁和Y₂₀是l²和l_z的共同本征函数，即

（a）l_z的可能测值为n，0，所相应的测值概率分别为所以l_z的平均值为．

（b）l²的可能测值为和，相应的测值概率分别为．

（c）在（l2，lz）表象中lx的矩阵元公式，（参阅《量子力学教程》第9章，169页，（26）式）

可求出l＝1的3维子空间中的矩阵表示为

由此可求出其本征值和本征态如下：

Y₁₁态按这3个本征态展开的系数分别为，所以在c₁Y₁₁态下，测量l_x得的概率分别是．

类似在l＝2的3维子空间中，的矩阵表示为

由此可求出其本征值和本征态如下：

Y₂₀态按这5个本征态展开的系数分别为，所以在c₂Y₂₀态下，测量l，得的概率分别为 而在态下测量得l_x的可能值和概率分别为

证明

（对于A与B对易情况，即C＝0，显然）

【证明见《量子力学习题精选与剖析》[下]，3.7题】

3.7　设算符A与B不对易，[A，B]＝C，但是C与A及B对易，即[A，C]＝0，[B，C]＝0．试证明Baker—Hausdorff公式：

证明：引入参变数λ，作

注意f（0）＝1，f（1）＝e^Ae^B．上式对λ求导，得到

而根据题3.6式（3）

代入式（2），即得

以f^－1（λ）乘之，得到

积分，即得

因此

由于f（0）＝1，故得

以右乘上式，即得

如令A→B，B→A，则C→[B，A]＝－C，上式变成

式（6）和（6′）中取λ＝1，即得

如A、B对易，则C＝0，上式即还原成题3.1式（4）．

3.18　设A与B是两个不对易的算符，α为一个参数，证明

【证明见《量子力学习题精选与剖析》[下]，3.5题】

3.5　给定算符，令

证明

证明：引入参变数ξ，作

则

对ξ求导，即得

根据Taylor公式，

而由式（3），令ξ→0即得

代入式（4），并顾及式（2），即得

亦即