3. 4 存在两类公共品的情形
3. 3节假设只存在一种公共品，而且这种公共品是非生产性的，只进入居民的效用函数。现在，我们假设地方政府提供两种性质的公共品：一种是非生产性公共品g，仍然直接进入居民效用函数，这包括教育、社会保障和环境保护等公共支出。另一种是生产性公共品b，主要是指基础设施。假设生产性公共品可以提高厂商投资的生产力，但并不直接进入居民的效用函数。假设f ibb< 0，并且政府提供基础设施b的边际成本为1，即单位产出可以转化成单位基础设施b。考虑到模型的稳定性，同时假设k i f ikb<1，即由提供基础设施导致生产率提高的边际收益要小于提供基础设施的边际成本，否则基础设施的提供量会无穷大。
帕累托最优配置是求解如下问题：
约束条件是
求得一阶条件[1]如下：
（3. 12）式和（3. 13）式中的条件与只存在单一公共品时的帕累托最优配置条件相同。（3. 14）式说明，此时生产性公共品的边际产出是1，因其边际成本也是1，因此边际成本等于边际产出。
2.政府目标是最大化居民效用时的均衡配置
当政府目标是最大化居民效用时，政府吸引厂商投资有两种手段：一是降低税率t i；二是建设配套的基础设施b i。但政府面临着两难的权衡，若降低税率就没有足够的税收收入来建设基础设施。
我们首先讨论政府目标是最大化居民效用时的均衡配置，此时地方政府的目标函数是最大化U i= u i（x i，g i），约束条件是
由一阶条件可得[2]
（3. 18）式与只存在单一公共品时的均衡一阶条件（3. 9）式相同，此时非生产性公共品的提供不足。由（3. 19）式可以考察生产性公共品的提供情况。首先由条件k i f ikb<1和f ikk<0，我们得到
代入（3. 19）式得到f ib> 1。所以，与帕累托最优的资源配置相比，此时生产性公共品也存在提供不足。
总的来看，当同时存在生产性公共品和非生产性公共品时，即使地方政府的目标是最大化辖区内居民的福利，由于分权框架下一个地区降低税率会把别的地区的资本吸引过来，各个地区竞相降低税率会使得税收收入不足，这时候两类公共品的提供量都会不足。
如果政府在政治晋升锦标赛中更加偏向本地区的GDP增长，那么这时候政府的目标函数与（3. 10）式相同，即
在（3. 15）式、（3. 16）式和（3. 17）式的约束条件下，求得一阶条件为[3]
此时，由（3. 20）式可知
所以，与上一节中的模型相比，当地方政府偏向GDP增长时，非生产性公共品提供会更加不足。下面我们来看生产性公共品bi的提供是不足还是过量。由（3. 21）式可知，当ηi满足
时，f ib> 1，生产性公共品的提供会不足。反之，当ηi满足时，f ib<1，此时生产性公共品的提供会过
量。由（3. 21）式可知，当ηi足够大，即地方政府足够偏向本地GDP的最大化时，会存在生产性公共品的过度提供。而且ηi越大，这种提供过量会越严重。
总的来看，当地方政府足够偏向本地GDP的增长时，会将财政收入过多地投入到基础设施建设中，而不是投入到居民所需要的非生产性公共品当中。这种公共支出结构的偏向，导致了社会福利的降低。而当地方政府的GDP偏向不够强时，可能同时存在生产性公共品和非生产性公共品的提供不足。
注释
[1]具体推导过程详见本章附录C。
[2]具体推导过程详见本章附录D。
[3]具体推导过程见本章附录E。