1.4 模糊风险

1.4.1 模糊理论的几个概念

1．模糊集与隶属函数

在经典集合论中，某个元素x与某个集合A的关系只有两种：即x∈A，或x∉A。但是，客观事物浩如烟海，事物之间的关系非常复杂，远不是这种“非此即彼”的简单模式所能概括的。例如，“青年人”是一个集合，那么，30岁的人是不是青年人呢？有人说是，有人说不是，为什么呢？这是因为“青年人”这个概念本身就是含糊不清的，“青年人”与“非青年人”之间并没有明确的年龄界限。又如，水文分析中，常使用“相似流域”概念，但流域间的相似与不相似之间并不能用几个数据简单地界定。因为“相似”与“不相似”之间的界限本来就是含糊不清的。这类事物之间界限含糊不清的特性，就称为事物的模糊性。为了刻画事物之间的模糊关系，需要引入模糊集合的概念。

在经典集合论中，对每一个集合，都可用一个只取0或1两个值的特征函数CA（x）来表达元素x与集合A的关系，即

特征函数CA（x）清楚地刻画了元素x对集合A的隶属关系。类似地，对于模糊集，也可以用一个函数来刻画某一元素x与模糊集A之间的隶属关系。但是，模糊集是界限或边界不明的具有特定性质的事物的集合。因此，元素x与集合A之间的隶属关系不再是绝对地“属于”或“不属于”关系，而是一种“在某种程度上元素x具有集合A中元素的特征，但这种特征又不十分明确”这样一种关系。根据元素x与集合A之间关系的这种特征，我们可以用“x属于A的程度”这样一个概念来描述这种关系。为此，可以采用一个定义在区间 [0,1]上的函数μA（x）来刻画x对A的隶属程度。μA（x）的值愈接近1，表示x隶属于A的程度愈高，μA（x）的值愈接近0，表示x隶属于A的程度愈低。这样，函数μA（x）就完备地刻画了元素与模糊集合之间的关系了。这个函数就称为模糊集A的隶属函数。简称为隶属函数。其值称为元素x对集合A的隶属度。

为了区别于经典集合，一般采用，，等表示模糊集。

若元素xi（i=1,2, …, n）对的隶属度为μA（xi），则可表示为

式中：表示元素xi属于的程度为；“+”“∑”并不表示通常意义上的“加”或“和”，它只表示集合由哪些元素组成。

一般地，可将模糊集表示为

式中：U为广义区间或称为论域，μA（x）∈[0,1]。

隶属函数是模糊集合应用于实际问题的基础，隶属函数的确定至今尚无令人满意的解决办法，在实际问题中，主要还是经验性的。

一般模糊数学书籍中都介绍一些典型的隶属函数，实际应用中，可根据具体情况选择。下面是隶属函数的几个例子。

（1）降半梯形：如图1-3所示。

（2）降半Γ形：如图1-4所示。

（3）降半岭形：如图1-5所示。

（4）降半正态形：如图1-6所示。

（5）升半Γ形：如图1-7所示。

（6）升半正态形：如图1-8所示。

（7）升半岭形，如图1-9所示。

（8）岭形：如图1-10所示。

（9）正态形：如图1-11所示。

（10）三角形：如图1-12所示。

2．水平截集

定义：设给定模糊集合，对任意α∈[0,1]，称普通集合

为的α水平截集。

从定义可知，凡x对的隶属度达到或超过α者，就是集合Aα的成员。

对于一个模糊集，取它的α水平截集，就是把它的隶属函数按下式转化为特征函数：

这个转化关系如图1-13所示。从图上可以看到，此时水平截集Aα就闭区间 [x1, x2]。

若对任意α∈[0,1], Aα均为闭区间，则称为一个模糊数。

例如，=0.1/x1+0.2/x2+0.5/x3+0.7/x4+0.9/x5+1/x6

则，对任意α∈[0,1], Aα都只包含几个离散元素，所以Aα不是闭区间，从而不是模糊数。

截集概念是联系模糊集与普通集合的桥梁，它使模糊集论中的问题转化为普通集合论的问题。

3．模糊关系与模糊矩阵

所谓模糊关系是指事物之间存在的一种有一定联系，但又不甚明确的关系。例如，父母与子女之间存在一定相似性，但又存在一些不相似的地方，因此，父母与子女之间的这种相似关系就是一种模糊关系。

对于模糊关系，也可以用隶属函数来表示。设S为某种关系，元素x与元素y之间存在S关系的程度，可以用隶属函数μs（x, y）表示。μs（x, y）的值域也是 [0,1]。若μs（x, y）=0，则x与y间不存在S关系；若μs（x, y）=1，则x与y间存在完全的S关系；而当0＜μs（x, y）＜1时，表示x与y间关于S存在模糊关系，也就是说，x与y间存在S关系的程度为μs（x, y）。

对于分别具有n个元素x和m个元素y的两个普通集合A和B，可以用元素（xi, yj）（i=1,2, …, n; j=1,2, …, m）关于关系S的隶属函数μs（xi, yj）来表示集合A与集合B之间存在S关系的程度。

将n×m个隶属函数值μs（xi, yj）排列成矩阵（1-28），就得到模糊矩阵：

4．模糊关系的运算

下面介绍模糊矩阵之并与交的运算及两模糊矩阵乘法的运算。

设，是两个n行m列的模糊矩阵，=（xij），=（hij），则

就是说，两个模糊矩阵的并，与普通矩阵的计算方法类似，也是取对应元素的并，不过在模糊矩阵的并运算中，不是取两数之和，而是取两数中的较大值，式（1-29）中的符号“∨”就是取两数中较大值的意思。例如5∨3=5,2∨7=7，等等。设

对两个各有n行的m列元素的模糊矩阵，定义交的运算为取对应元素的交。即

两模糊矩阵乘法的运算也和普通矩阵乘法的运算过程相同，只不过需要将“×”改为“∧”运算，把“+”改“∨”运算。符号“∧”表示取两数中较小者。

设，，则

式中

例如

其他元素可用同样方法算得。

5．模糊概率

在经典概率论中，事件是基本空间中被精确定义的集合，如果基本事件是离散且相互独立的，每个基本事件出现概率为pi，若事件A由基本空间中的n个基本事件构成，则A出现的概率为

式中：pi为构成事件A的第i个基本事件的概率。

若基本事件是连续的，构成事件A的基本事件集为S，则A的概率为

式中：x为构成事件A的基本事件。

f（x）为基本空间上的概率密度。

在模糊集合论中，模糊事件是基本空间中的模糊集合，如果基本事件xi隶属于模糊事件的隶属函数为，则定义模糊事件的模糊概率为：

若基本空间是连续的，则的模糊概率定义为：

6．最大隶属度原则

通过模糊分析得出的结论常常是多值的，有时为了决策的需要，需将其单值化，为此，常采用最大隶属度原则。

（1）最大隶属度原则Ⅰ：给定论域U上的一个模糊集，设U中有几个待选对象u1, u2, …, un，要问在的模糊限制下应优先取谁？

答：若，则选取ui。

（2）最大隶属度原则Ⅱ：给定论域U上n个模糊集（模型），, …, , u0∈U是一个需识别的对象，要问u0应优先归于谁？

答：若，则将u0优先划归。

1.4.2 模糊风险

传统风险分析中，只认为功能函数中的基本变量具有随机性，而系统失事的判别准则是明确的，即把Z=0作为是否失事的界限，Z＜0系统处于失事状态，Z＞0系统处于可靠状态。但在实际系统中，系统由可靠状态转变为失事状态是一个渐变过程，即并非Z＞0就一定安全，Z＜0就一定失事。而是从安全到失事，中间存在一个过渡的模糊区，而不是由一个点决定的，如图1-14所示。例如，在供水与发电系统中，在一定时期内可能由于干旱而造成供水减少，或发电不足，传统风险分析认为供水量或发电量小于设计值时，系统就失事了，但实际上，虽然此时与之有关的社会生产和生活系统会受到一定影响，但不至于完全瘫痪，只不过是在较低效能水平上运行而已。又如，在水库大坝漫顶失事问题中，传统认为，只要库水位超过坝顶高程，大坝就会失事，但实际情况并非如此。漫坝失事并没有绝对分明的界限，而具有从量变到质变的中间过程，这一模糊过程是与工程质量和管理条件紧密相关的。下游植被和防渗防冲条件好的大坝，当洪水位略高于坝顶时也不至于失事；大洪水来临时，采取抢险加高坝顶等措施，也可避免可能的失事事故。相反，在小洪水时，坝前水位没有超过坝顶，但因管理调度不当或发生库区滑坡塌方、地震等，引起水位抬高，也可能发生漫坝失事。综上所述，可见失事判断准则也是具有模糊性的。另外，在系统的功能函数中，或描述系统的数学模型中，一般都存在一些参数，而这些参数往往不可能给出精确数值，也存在一定的模糊性。因此可将系统失事视为一种模糊事件，用隶属函数来表示系统处于失事状态的程度，用模糊数学方法计算系统失事的模糊风险。若已知功能变量Z的概率密度函数f（z），把系统失事（Z=S-L＜0）看成为一模糊事件, Z隶属于事件的隶属函数记为，它刻画了其取不同值时导致系统失事可能性的大小，即Z的值与事件关系密切的程度，的值越大，表示该z值导致系统失事的可能越大，，说明该Z值与系统失事没有关系。根据模糊概率的定义，模糊事件发生的概率为

按习惯，把称为模糊风险，一般记为。

按隶属函数的含义，当Z＞0时，系统处于安全状态，所以应有

于是式（1-34）可写为