1.13 标准正态分布

从前面介绍我们知道，直截了当对p（x）计算某一区间内的面积相当麻烦。如果我们能将一般的正态分布X～N（μ, σ2）转化为标准的正态分布X～N（0,1），那么计算函数p（x）在某一区间内的概率就变得简单易行了，因为数理统计专家已经计算出了标准正态分布函数表[4]。

那么一般的正态分布X～N（μ, σ2）如何转变为标准正态分布呢？这就需要对随机变量X进行标准化。一般地，把随机变量X减去其均值，再除以其标准差，就可以把一般正态分布转换为标准正态分布，这一变换过程称为随机变量的标准化。

设随机变量X～N（μ, σ2），将随机变量X减去其均值，再除以其标准差，则随机变量也服从正态分布。因为根据数学期望和方差的性质，容易推得

这就是说，我们通过对一般正态分布的随机变量进行标准化，可以得到均值为0、标准差为1的正态分布，即随机变量U～N（0,1），正态分布N（0,1）称为标准正态分布，X为一般正态分布的随机变量，而称为标准正态分布的随机变量。

由于标准正态分布随机变量的特殊重要性，通常把标准正态分布随机变量的概率密度函数记作φ（x），则

其实，在一般正态分布X～N（μ, σ2）中，令μ=0且σ=1时，可立即得到标准正态分布。而所谓的标准化过程就是对函数p（x）积分时积分变量的变换过程，参见第1.11节。

一般正态分布比较广泛地存在于自然界和社会实践中，而标准正态分布N（0,1）是一种特殊的正态分布，实际上很少存在这样一个质量特性（随机变量）的均值为0，方差为1的情况，而现实生活中大量存在的是一般正态分布。理论和实践表明，一般正态分布总可以通过标准化转变为标准的正态分布，所以，研究和应用N（0,1）分布的性质显得极为重要。我国著名质量专家张公绪教授正是利用对随机变量的标准化，发明了通用控制图（已发布为国家标准[5]）。

通过对标准正态分布概率密度函数φ（x）求积分，可计算出区间[ -∞, u]内的概率，即是标准正态分布的函数值，而Φ（u）则是对φ（x）从-∞到u的积分，是面积，其几何意义是φ（x）曲线在区间[ -∞, u]的面积，见图1-4。

图1-4 Φ（u）与φ（u）的区别

由于一般正态分布通过标准化可转变为标准的正态分布，所以一般正态分布曲线分布的概率计算变得简便易行。国家标准GB4086.1—83《统计分布数值表正态分布》中的正态分布函数表是针对标准正态分布N（0,1），并利用公式计算得到的。有了附表1，人们根据Φ（u）的数值表，可以查得事件“U≤u”发生的概率。例如，P（U≤1.99）=Φ（1.99）=0.9767。当然也可以反查，如Φ（u）=0.9904，查得u =2.34。

为加深理解，将一般正态分布和标准正态分布的性质特点列表1-6如下。

表1-6 一般正态分布与标准正态分布的区别